Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29291 / 44149
↖ ↑ ↗
← S 52.872446°
W 19.099731°		 ← 368.67 m → S 52.872446°
W 19.094239°		 →
↑
368.63 m
↓
↑
368.63 m
↓
S 52.875761°
W 19.099731°		 ← 368.64 m →
135 895 m²		 S 52.875761°
W 19.094239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446952819824219 y=0.673667907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446952819824219 × 216)
    floor (0.446952819824219 × 65536)
    floor (29291.5)     		tx = 29291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673667907714844 × 216)
    floor (0.673667907714844 × 65536)
    floor (44149.5)     		ty = 44149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29291 / 44149 ti = "16/29291/44149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29291/44149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29291 ÷ 216
    29291 ÷ 65536     		x = 0.446945190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44149 ÷ 216
    44149 ÷ 65536     		y = 0.673660278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446945190429688 × 2 - 1) × π
    -0.106109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33335320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673660278320312 × 2 - 1) × π
    -0.347320556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09113970915172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33335320} λ = -0.33335320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09113970915172))-π/2
    2×atan(0.335833522970978)-π/2
    2×0.323999034790271-π/2
    0.647998069580542-1.57079632675     		φ = -0.92279826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33335320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.099731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92279826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.872446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29291 KachelY 44149 -0.33335320 -0.92279826 -19.099731 -52.872446
    Oben rechts KachelX + 1 29292 KachelY 44149 -0.33325733 -0.92279826 -19.094239 -52.872446
    Unten links KachelX 29291 KachelY + 1 44150 -0.33335320 -0.92285612 -19.099731 -52.875761
    Unten rechts KachelX + 1 29292 KachelY + 1 44150 -0.33325733 -0.92285612 -19.094239 -52.875761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92279826--0.92285612) × R
    5.78599999999652e-05 × 6371000     		dl = 368.626059999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92279826--0.92285612) × R
    5.78599999999652e-05 × 6371000     		dr = 368.626059999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33335320--0.33325733) × cos(-0.92279826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603591487496769 × 6371000     		do = 368.666298639126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33335320--0.33325733) × cos(-0.92285612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603545355070349 × 6371000     		du = 368.638121517268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92279826)-sin(-0.92285612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603591487496769-0.603545355070349)×R²
    abs(-0.33325733--0.33335320)×4.61324264202645e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61324264202645e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61324264202645e-05×40589641000000     		ar = 135894.811749577m²