Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29289 / 44180
↖ ↑ ↗
← S 52.975108°
W 19.110718°		 ← 367.83 m → S 52.975108°
W 19.105224°		 →
↑
367.80 m
↓
↑
367.80 m
↓
S 52.978416°
W 19.110718°		 ← 367.80 m →
135 282 m²		 S 52.978416°
W 19.105224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446922302246094 y=0.674140930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446922302246094 × 216)
    floor (0.446922302246094 × 65536)
    floor (29289.5)     		tx = 29289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674140930175781 × 216)
    floor (0.674140930175781 × 65536)
    floor (44180.5)     		ty = 44180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29289 / 44180 ti = "16/29289/44180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29289/44180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29289 ÷ 216
    29289 ÷ 65536     		x = 0.446914672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44180 ÷ 216
    44180 ÷ 65536     		y = 0.67413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446914672851562 × 2 - 1) × π
    -0.106170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33354495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.3482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09411179692816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33354495} λ = -0.33354495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09411179692816))-π/2
    2×atan(0.334836878054162)-π/2
    2×0.32310313372113-π/2
    0.64620626744226-1.57079632675     		φ = -0.92459006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33354495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.110718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92459006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.975108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29289 KachelY 44180 -0.33354495 -0.92459006 -19.110718 -52.975108
    Oben rechts KachelX + 1 29290 KachelY 44180 -0.33344907 -0.92459006 -19.105224 -52.975108
    Unten links KachelX 29289 KachelY + 1 44181 -0.33354495 -0.92464779 -19.110718 -52.978416
    Unten rechts KachelX + 1 29290 KachelY + 1 44181 -0.33344907 -0.92464779 -19.105224 -52.978416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92459006--0.92464779) × R
    5.77299999999781e-05 × 6371000     		dl = 367.79782999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92459006--0.92464779) × R
    5.77299999999781e-05 × 6371000     		dr = 367.79782999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33354495--0.33344907) × cos(-0.92459006) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602161928399216 × 6371000     		do = 367.831505162287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33354495--0.33344907) × cos(-0.92464779) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602115837265946 × 6371000     		du = 367.803350325314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92459006)-sin(-0.92464779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602161928399216-0.602115837265946)×R²
    abs(-0.33344907--0.33354495)×4.6091133269921e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6091133269921e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6091133269921e-05×40589641000000     		ar = 135282.451798157m²