Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29289 / 43961
↖ ↑ ↗
← S 52.244620°
W 19.110718°		 ← 374.02 m → S 52.244620°
W 19.105224°		 →
↑
373.98 m
↓
↑
373.98 m
↓
S 52.247983°
W 19.110718°		 ← 373.99 m →
139 870 m²		 S 52.247983°
W 19.105224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446922302246094 y=0.670799255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446922302246094 × 216)
    floor (0.446922302246094 × 65536)
    floor (29289.5)     		tx = 29289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670799255371094 × 216)
    floor (0.670799255371094 × 65536)
    floor (43961.5)     		ty = 43961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29289 / 43961 ti = "16/29289/43961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29289/43961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29289 ÷ 216
    29289 ÷ 65536     		x = 0.446914672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43961 ÷ 216
    43961 ÷ 65536     		y = 0.670791625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446914672851562 × 2 - 1) × π
    -0.106170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33354495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670791625976562 × 2 - 1) × π
    -0.341583251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07311543489458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33354495} λ = -0.33354495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07311543489458))-π/2
    2×atan(0.341941559596204)-π/2
    2×0.329477848342282-π/2
    0.658955696684564-1.57079632675     		φ = -0.91184063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33354495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.110718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91184063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.244620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29289 KachelY 43961 -0.33354495 -0.91184063 -19.110718 -52.244620
    Oben rechts KachelX + 1 29290 KachelY 43961 -0.33344907 -0.91184063 -19.105224 -52.244620
    Unten links KachelX 29289 KachelY + 1 43962 -0.33354495 -0.91189933 -19.110718 -52.247983
    Unten rechts KachelX + 1 29290 KachelY + 1 43962 -0.33344907 -0.91189933 -19.105224 -52.247983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91184063--0.91189933) × R
    5.86999999999671e-05 × 6371000     		dl = 373.97769999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91184063--0.91189933) × R
    5.86999999999671e-05 × 6371000     		dr = 373.97769999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33354495--0.33344907) × cos(-0.91184063) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.612291526380884 × 6371000     		do = 374.019185081193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33354495--0.33344907) × cos(-0.91189933) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.612245115222901 × 6371000     		du = 373.990834756651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91184063)-sin(-0.91189933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612291526380884-0.612245115222901)×R²
    abs(-0.33344907--0.33354495)×4.64111579823179e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.64111579823179e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.64111579823179e-05×40589641000000     		ar = 139869.533438128m²