Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29289 / 43935
↖ ↑ ↗
← S 52.157085°
W 19.110718°		 ← 374.76 m → S 52.157085°
W 19.105224°		 →
↑
374.68 m
↓
↑
374.68 m
↓
S 52.160454°
W 19.110718°		 ← 374.73 m →
140 408 m²		 S 52.160454°
W 19.105224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446922302246094 y=0.670402526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446922302246094 × 216)
    floor (0.446922302246094 × 65536)
    floor (29289.5)     		tx = 29289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670402526855469 × 216)
    floor (0.670402526855469 × 65536)
    floor (43935.5)     		ty = 43935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29289 / 43935 ti = "16/29289/43935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29289/43935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29289 ÷ 216
    29289 ÷ 65536     		x = 0.446914672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43935 ÷ 216
    43935 ÷ 65536     		y = 0.670394897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446914672851562 × 2 - 1) × π
    -0.106170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33354495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670394897460938 × 2 - 1) × π
    -0.340789794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07062271611433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33354495} λ = -0.33354495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07062271611433))-π/2
    2×atan(0.342794986978879)-π/2
    2×0.330241735835277-π/2
    0.660483471670554-1.57079632675     		φ = -0.91031286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33354495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.110718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91031286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.157085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29289 KachelY 43935 -0.33354495 -0.91031286 -19.110718 -52.157085
    Oben rechts KachelX + 1 29290 KachelY 43935 -0.33344907 -0.91031286 -19.105224 -52.157085
    Unten links KachelX 29289 KachelY + 1 43936 -0.33354495 -0.91037167 -19.110718 -52.160454
    Unten rechts KachelX + 1 29290 KachelY + 1 43936 -0.33344907 -0.91037167 -19.105224 -52.160454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91031286--0.91037167) × R
    5.88099999999647e-05 × 6371000     		dl = 374.678509999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91031286--0.91037167) × R
    5.88099999999647e-05 × 6371000     		dr = 374.678509999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33354495--0.33344907) × cos(-0.91031286) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.613498715315702 × 6371000     		do = 374.756598228666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33354495--0.33344907) × cos(-0.91037167) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.613452272249651 × 6371000     		du = 374.728228413034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91031286)-sin(-0.91037167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613498715315702-0.613452272249651)×R²
    abs(-0.33344907--0.33354495)×4.64430660501725e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.64430660501725e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.64430660501725e-05×40589641000000     		ar = 140407.929097175m²