Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29288 / 43833
↖ ↑ ↗
← S 51.812011°
W 19.116211°		 ← 377.62 m → S 51.812011°
W 19.110718°		 →
↑
377.61 m
↓
↑
377.61 m
↓
S 51.815407°
W 19.116211°		 ← 377.59 m →
142 586 m²		 S 51.815407°
W 19.110718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446907043457031 y=0.668846130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446907043457031 × 216)
    floor (0.446907043457031 × 65536)
    floor (29288.5)     		tx = 29288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668846130371094 × 216)
    floor (0.668846130371094 × 65536)
    floor (43833.5)     		ty = 43833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29288 / 43833 ti = "16/29288/43833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29288/43833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29288 ÷ 216
    29288 ÷ 65536     		x = 0.4468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43833 ÷ 216
    43833 ÷ 65536     		y = 0.668838500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33364082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668838500976562 × 2 - 1) × π
    -0.337677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06084358859184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33364082} λ = -0.33364082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06084358859184))-π/2
    2×atan(0.346163667402431)-π/2
    2×0.333253071447059-π/2
    0.666506142894118-1.57079632675     		φ = -0.90429018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33364082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.116211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90429018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.812011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29288 KachelY 43833 -0.33364082 -0.90429018 -19.116211 -51.812011
    Oben rechts KachelX + 1 29289 KachelY 43833 -0.33354495 -0.90429018 -19.110718 -51.812011
    Unten links KachelX 29288 KachelY + 1 43834 -0.33364082 -0.90434945 -19.116211 -51.815407
    Unten rechts KachelX + 1 29289 KachelY + 1 43834 -0.33354495 -0.90434945 -19.110718 -51.815407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90429018--0.90434945) × R
    5.92699999999446e-05 × 6371000     		dl = 377.609169999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90429018--0.90434945) × R
    5.92699999999446e-05 × 6371000     		dr = 377.609169999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33364082--0.33354495) × cos(-0.90429018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6182436445813 × 6371000     		do = 377.615656990477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33364082--0.33354495) × cos(-0.90434945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618197058074879 × 6371000     		du = 377.587202522108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90429018)-sin(-0.90434945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6182436445813-0.618197058074879)×R²
    abs(-0.33354495--0.33364082)×4.65865064211979e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65865064211979e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65865064211979e-05×40589641000000     		ar = 142585.762522635m²