Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29287 / 44183
↖ ↑ ↗
← S 52.985030°
W 19.121704°		 ← 367.75 m → S 52.985030°
W 19.116211°		 →
↑
367.73 m
↓
↑
367.73 m
↓
S 52.988337°
W 19.121704°		 ← 367.72 m →
135 228 m²		 S 52.988337°
W 19.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446891784667969 y=0.674186706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446891784667969 × 216)
    floor (0.446891784667969 × 65536)
    floor (29287.5)     		tx = 29287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674186706542969 × 216)
    floor (0.674186706542969 × 65536)
    floor (44183.5)     		ty = 44183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29287 / 44183 ti = "16/29287/44183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29287/44183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29287 ÷ 216
    29287 ÷ 65536     		x = 0.446884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44183 ÷ 216
    44183 ÷ 65536     		y = 0.674179077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446884155273438 × 2 - 1) × π
    -0.106231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33373670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674179077148438 × 2 - 1) × π
    -0.348358154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09439941832588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33373670} λ = -0.33373670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09439941832588))-π/2
    2×atan(0.33474058565183)-π/2
    2×0.323016546335625-π/2
    0.646033092671251-1.57079632675     		φ = -0.92476323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33373670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.121704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92476323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.985030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29287 KachelY 44183 -0.33373670 -0.92476323 -19.121704 -52.985030
    Oben rechts KachelX + 1 29288 KachelY 44183 -0.33364082 -0.92476323 -19.116211 -52.985030
    Unten links KachelX 29287 KachelY + 1 44184 -0.33373670 -0.92482095 -19.121704 -52.988337
    Unten rechts KachelX + 1 29288 KachelY + 1 44184 -0.33364082 -0.92482095 -19.116211 -52.988337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92476323--0.92482095) × R
    5.77199999999278e-05 × 6371000     		dl = 367.73411999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92476323--0.92482095) × R
    5.77199999999278e-05 × 6371000     		dr = 367.73411999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33373670--0.33364082) × cos(-0.92476323) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602023664949015 × 6371000     		do = 367.747046729102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33373670--0.33364082) × cos(-0.92482095) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.601977575781921 × 6371000     		du = 367.71889309317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92476323)-sin(-0.92482095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602023664949015-0.601977575781921)×R²
    abs(-0.33364082--0.33373670)×4.60891670939212e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60891670939212e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60891670939212e-05×40589641000000     		ar = 135227.960122676m²