Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29286 / 43926
↖ ↑ ↗
← S 52.126744°
W 19.127197°		 ← 374.97 m → S 52.126744°
W 19.121704°		 →
↑
374.93 m
↓
↑
374.93 m
↓
S 52.130116°
W 19.127197°		 ← 374.94 m →
140 585 m²		 S 52.130116°
W 19.121704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446876525878906 y=0.670265197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446876525878906 × 216)
    floor (0.446876525878906 × 65536)
    floor (29286.5)     		tx = 29286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670265197753906 × 216)
    floor (0.670265197753906 × 65536)
    floor (43926.5)     		ty = 43926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29286 / 43926 ti = "16/29286/43926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29286/43926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29286 ÷ 216
    29286 ÷ 65536     		x = 0.446868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43926 ÷ 216
    43926 ÷ 65536     		y = 0.670257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.10626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33383257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.34051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06975985192117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33383257} λ = -0.33383257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06975985192117))-π/2
    2×atan(0.343090900146817)-π/2
    2×0.330506509059581-π/2
    0.661013018119162-1.57079632675     		φ = -0.90978331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33383257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.127197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90978331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.126744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29286 KachelY 43926 -0.33383257 -0.90978331 -19.127197 -52.126744
    Oben rechts KachelX + 1 29287 KachelY 43926 -0.33373670 -0.90978331 -19.121704 -52.126744
    Unten links KachelX 29286 KachelY + 1 43927 -0.33383257 -0.90984216 -19.127197 -52.130116
    Unten rechts KachelX + 1 29287 KachelY + 1 43927 -0.33373670 -0.90984216 -19.121704 -52.130116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90978331--0.90984216) × R
    5.88499999999437e-05 × 6371000     		dl = 374.933349999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90978331--0.90984216) × R
    5.88499999999437e-05 × 6371000     		dr = 374.933349999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33383257--0.33373670) × cos(-0.90978331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613916812643747 × 6371000     		do = 374.972880960174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33383257--0.33373670) × cos(-0.90984216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6138703571133 × 6371000     		du = 374.944506490328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90978331)-sin(-0.90984216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613916812643747-0.6138703571133)×R²
    abs(-0.33373670--0.33383257)×4.64555304464653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64555304464653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64555304464653e-05×40589641000000     		ar = 140584.519190536m²