Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29286 / 43922
↖ ↑ ↗
← S 52.113252°
W 19.127197°		 ← 375.09 m → S 52.113252°
W 19.121704°		 →
↑
375.06 m
↓
↑
375.06 m
↓
S 52.116626°
W 19.127197°		 ← 375.06 m →
140 675 m²		 S 52.116626°
W 19.121704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446876525878906 y=0.670204162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446876525878906 × 216)
    floor (0.446876525878906 × 65536)
    floor (29286.5)     		tx = 29286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670204162597656 × 216)
    floor (0.670204162597656 × 65536)
    floor (43922.5)     		ty = 43922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29286 / 43922 ti = "16/29286/43922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29286/43922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29286 ÷ 216
    29286 ÷ 65536     		x = 0.446868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43922 ÷ 216
    43922 ÷ 65536     		y = 0.670196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.10626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33383257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670196533203125 × 2 - 1) × π
    -0.34039306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06937635672421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33383257} λ = -0.33383257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06937635672421))-π/2
    2×atan(0.343222499091313)-π/2
    2×0.330624243952632-π/2
    0.661248487905265-1.57079632675     		φ = -0.90954784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33383257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.127197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90954784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.113252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29286 KachelY 43922 -0.33383257 -0.90954784 -19.127197 -52.113252
    Oben rechts KachelX + 1 29287 KachelY 43922 -0.33373670 -0.90954784 -19.121704 -52.113252
    Unten links KachelX 29286 KachelY + 1 43923 -0.33383257 -0.90960671 -19.127197 -52.116626
    Unten rechts KachelX + 1 29287 KachelY + 1 43923 -0.33373670 -0.90960671 -19.121704 -52.116626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90954784--0.90960671) × R
    5.88700000000442e-05 × 6371000     		dl = 375.060770000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90954784--0.90960671) × R
    5.88700000000442e-05 × 6371000     		dr = 375.060770000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33383257--0.33373670) × cos(-0.90954784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614102668747837 × 6371000     		do = 375.086399595532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33383257--0.33373670) × cos(-0.90960671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614056205940407 × 6371000     		du = 375.058020680994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90954784)-sin(-0.90960671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614102668747837-0.614056205940407)×R²
    abs(-0.33373670--0.33383257)×4.64628074299256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64628074299256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64628074299256e-05×40589641000000     		ar = 140674.871980706m²