Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29283 / 43939
↖ ↑ ↗
← S 52.170563°
W 19.143677°		 ← 374.60 m → S 52.170563°
W 19.138184°		 →
↑
374.61 m
↓
↑
374.61 m
↓
S 52.173932°
W 19.143677°		 ← 374.58 m →
140 327 m²		 S 52.173932°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446830749511719 y=0.670463562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446830749511719 × 216)
    floor (0.446830749511719 × 65536)
    floor (29283.5)     		tx = 29283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670463562011719 × 216)
    floor (0.670463562011719 × 65536)
    floor (43939.5)     		ty = 43939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29283 / 43939 ti = "16/29283/43939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29283/43939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29283 ÷ 216
    29283 ÷ 65536     		x = 0.446823120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43939 ÷ 216
    43939 ÷ 65536     		y = 0.670455932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446823120117188 × 2 - 1) × π
    -0.106353759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33412019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670455932617188 × 2 - 1) × π
    -0.340911865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07100621131129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33412019} λ = -0.33412019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07100621131129))-π/2
    2×atan(0.342663551951792)-π/2
    2×0.330124116741339-π/2
    0.660248233482677-1.57079632675     		φ = -0.91054809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33412019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.143677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91054809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.170563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29283 KachelY 43939 -0.33412019 -0.91054809 -19.143677 -52.170563
    Oben rechts KachelX + 1 29284 KachelY 43939 -0.33402432 -0.91054809 -19.138184 -52.170563
    Unten links KachelX 29283 KachelY + 1 43940 -0.33412019 -0.91060689 -19.143677 -52.173932
    Unten rechts KachelX + 1 29284 KachelY + 1 43940 -0.33402432 -0.91060689 -19.138184 -52.173932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91054809--0.91060689) × R
    5.87999999999145e-05 × 6371000     		dl = 374.614799999455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91054809--0.91060689) × R
    5.87999999999145e-05 × 6371000     		dr = 374.614799999455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33412019--0.33402432) × cos(-0.91054809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613312938220368 × 6371000     		do = 374.604041847758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33412019--0.33402432) × cos(-0.91060689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61326649456762 × 6371000     		du = 374.575674632665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91054809)-sin(-0.91060689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613312938220368-0.61326649456762)×R²
    abs(-0.33402432--0.33412019)×4.6443652748418e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6443652748418e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6443652748418e-05×40589641000000     		ar = 140326.904866896m²