Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29282 / 44210
↖ ↑ ↗
← S 53.074228°
W 19.149170°		 ← 366.95 m → S 53.074228°
W 19.143677°		 →
↑
366.91 m
↓
↑
366.91 m
↓
S 53.077527°
W 19.149170°		 ← 366.92 m →
134 631 m²		 S 53.077527°
W 19.143677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446815490722656 y=0.674598693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446815490722656 × 216)
    floor (0.446815490722656 × 65536)
    floor (29282.5)     		tx = 29282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674598693847656 × 216)
    floor (0.674598693847656 × 65536)
    floor (44210.5)     		ty = 44210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29282 / 44210 ti = "16/29282/44210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29282/44210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29282 ÷ 216
    29282 ÷ 65536     		x = 0.446807861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44210 ÷ 216
    44210 ÷ 65536     		y = 0.674591064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446807861328125 × 2 - 1) × π
    -0.10638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33421606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.34918212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09698801090536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33421606} λ = -0.33421606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09698801090536))-π/2
    2×atan(0.333875199205459)-π/2
    2×0.322238154378769-π/2
    0.644476308757538-1.57079632675     		φ = -0.92632002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33421606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.149170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92632002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.074228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29282 KachelY 44210 -0.33421606 -0.92632002 -19.149170 -53.074228
    Oben rechts KachelX + 1 29283 KachelY 44210 -0.33412019 -0.92632002 -19.143677 -53.074228
    Unten links KachelX 29282 KachelY + 1 44211 -0.33421606 -0.92637761 -19.149170 -53.077527
    Unten rechts KachelX + 1 29283 KachelY + 1 44211 -0.33412019 -0.92637761 -19.143677 -53.077527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92632002--0.92637761) × R
    5.75899999999407e-05 × 6371000     		dl = 366.905889999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92632002--0.92637761) × R
    5.75899999999407e-05 × 6371000     		dr = 366.905889999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33421606--0.33412019) × cos(-0.92632002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600779872974313 × 6371000     		do = 366.948998874856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33421606--0.33412019) × cos(-0.92637761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600733833696957 × 6371000     		du = 366.920878647307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92632002)-sin(-0.92637761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600779872974313-0.600733833696957)×R²
    abs(-0.33412019--0.33421606)×4.60392773562468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60392773562468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60392773562468e-05×40589641000000     		ar = 134630.590314973m²