Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29280 / 45024
↖ ↑ ↗
← S 55.677585°
W 19.160156°		 ← 344.39 m → S 55.677585°
W 19.154663°		 →
↑
344.35 m
↓
↑
344.35 m
↓
S 55.680681°
W 19.160156°		 ← 344.36 m →
118 588 m²		 S 55.680681°
W 19.154663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446784973144531 y=0.687019348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446784973144531 × 216)
    floor (0.446784973144531 × 65536)
    floor (29280.5)     		tx = 29280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687019348144531 × 216)
    floor (0.687019348144531 × 65536)
    floor (45024.5)     		ty = 45024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29280 / 45024 ti = "16/29280/45024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29280/45024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29280 ÷ 216
    29280 ÷ 65536     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45024 ÷ 216
    45024 ÷ 65536     		y = 0.68701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68701171875 × 2 - 1) × π
    -0.3740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17502928348682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17502928348682))-π/2
    2×atan(0.308809936523908)-π/2
    2×0.299519579641627-π/2
    0.599039159283253-1.57079632675     		φ = -0.97175717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97175717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.677585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29280 KachelY 45024 -0.33440781 -0.97175717 -19.160156 -55.677585
    Oben rechts KachelX + 1 29281 KachelY 45024 -0.33431194 -0.97175717 -19.154663 -55.677585
    Unten links KachelX 29280 KachelY + 1 45025 -0.33440781 -0.97181122 -19.160156 -55.680681
    Unten rechts KachelX + 1 29281 KachelY + 1 45025 -0.33431194 -0.97181122 -19.154663 -55.680681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97175717--0.97181122) × R
    5.40500000000277e-05 × 6371000     		dl = 344.352550000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97175717--0.97181122) × R
    5.40500000000277e-05 × 6371000     		dr = 344.352550000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33431194) × cos(-0.97175717) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.563849194755044 × 6371000     		do = 344.392192280921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33431194) × cos(-0.97181122) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.563804555238159 × 6371000     		du = 344.364927009949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97175717)-sin(-0.97181122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563849194755044-0.563804555238159)×R²
    abs(-0.33431194--0.33440781)×4.46395168851588e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.46395168851588e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.46395168851588e-05×40589641000000     		ar = 118587.635208127m²