Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29279 / 43934
↖ ↑ ↗
← S 52.153714°
W 19.165650°		 ← 374.78 m → S 52.153714°
W 19.160156°		 →
↑
374.81 m
↓
↑
374.81 m
↓
S 52.157085°
W 19.165650°		 ← 374.76 m →
140 466 m²		 S 52.157085°
W 19.160156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446769714355469 y=0.670387268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446769714355469 × 216)
    floor (0.446769714355469 × 65536)
    floor (29279.5)     		tx = 29279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670387268066406 × 216)
    floor (0.670387268066406 × 65536)
    floor (43934.5)     		ty = 43934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29279 / 43934 ti = "16/29279/43934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29279/43934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29279 ÷ 216
    29279 ÷ 65536     		x = 0.446762084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43934 ÷ 216
    43934 ÷ 65536     		y = 0.670379638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446762084960938 × 2 - 1) × π
    -0.106475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33450369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.34075927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07052684231509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33450369} λ = -0.33450369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07052684231509))-π/2
    2×atan(0.342827853612141)-π/2
    2×0.330271146175108-π/2
    0.660542292350217-1.57079632675     		φ = -0.91025403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33450369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.165650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91025403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.153714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29279 KachelY 43934 -0.33450369 -0.91025403 -19.165650 -52.153714
    Oben rechts KachelX + 1 29280 KachelY 43934 -0.33440781 -0.91025403 -19.160156 -52.153714
    Unten links KachelX 29279 KachelY + 1 43935 -0.33450369 -0.91031286 -19.165650 -52.157085
    Unten rechts KachelX + 1 29280 KachelY + 1 43935 -0.33440781 -0.91031286 -19.160156 -52.157085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91025403--0.91031286) × R
    5.88299999999542e-05 × 6371000     		dl = 374.805929999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91025403--0.91031286) × R
    5.88299999999542e-05 × 6371000     		dr = 374.805929999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33450369--0.33440781) × cos(-0.91025403) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.613545172053088 × 6371000     		do = 374.784976395455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33450369--0.33440781) × cos(-0.91031286) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.613498715315702 × 6371000     		du = 374.756598228666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91025403)-sin(-0.91031286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613545172053088-0.613498715315702)×R²
    abs(-0.33440781--0.33450369)×4.64567373862357e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.64567373862357e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.64567373862357e-05×40589641000000     		ar = 140466.313515774m²