Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29278 / 43849
↖ ↑ ↗
← S 51.866316°
W 19.171143°		 ← 377.16 m → S 51.866316°
W 19.165650°		 →
↑
377.16 m
↓
↑
377.16 m
↓
S 51.869708°
W 19.171143°		 ← 377.13 m →
142 246 m²		 S 51.869708°
W 19.165650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446754455566406 y=0.669090270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446754455566406 × 216)
    floor (0.446754455566406 × 65536)
    floor (29278.5)     		tx = 29278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669090270996094 × 216)
    floor (0.669090270996094 × 65536)
    floor (43849.5)     		ty = 43849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29278 / 43849 ti = "16/29278/43849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29278/43849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29278 ÷ 216
    29278 ÷ 65536     		x = 0.446746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43849 ÷ 216
    43849 ÷ 65536     		y = 0.669082641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446746826171875 × 2 - 1) × π
    -0.10650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33459956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669082641601562 × 2 - 1) × π
    -0.338165283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06237756937968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33459956} λ = -0.33459956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06237756937968))-π/2
    2×atan(0.345633066057368)-π/2
    2×0.332779170329835-π/2
    0.66555834065967-1.57079632675     		φ = -0.90523799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33459956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.171143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90523799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.866316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29278 KachelY 43849 -0.33459956 -0.90523799 -19.171143 -51.866316
    Oben rechts KachelX + 1 29279 KachelY 43849 -0.33450369 -0.90523799 -19.165650 -51.866316
    Unten links KachelX 29278 KachelY + 1 43850 -0.33459956 -0.90529719 -19.171143 -51.869708
    Unten rechts KachelX + 1 29279 KachelY + 1 43850 -0.33450369 -0.90529719 -19.165650 -51.869708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90523799--0.90529719) × R
    5.9199999999926e-05 × 6371000     		dl = 377.163199999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90523799--0.90529719) × R
    5.9199999999926e-05 × 6371000     		dr = 377.163199999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33459956--0.33450369) × cos(-0.90523799) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61749840111992 × 6371000     		do = 377.160471398593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33459956--0.33450369) × cos(-0.90529719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617451834967461 × 6371000     		du = 377.132029362175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90523799)-sin(-0.90529719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61749840111992-0.617451834967461)×R²
    abs(-0.33450369--0.33459956)×4.65661524592376e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65661524592376e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65661524592376e-05×40589641000000     		ar = 142245.686702767m²