Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29259 / 45136
↖ ↑ ↗
← S 56.022948°
W 19.275513°		 ← 341.35 m → S 56.022948°
W 19.270020°		 →
↑
341.36 m
↓
↑
341.36 m
↓
S 56.026018°
W 19.275513°		 ← 341.32 m →
116 516 m²		 S 56.026018°
W 19.270020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446464538574219 y=0.688728332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446464538574219 × 216)
    floor (0.446464538574219 × 65536)
    floor (29259.5)     		tx = 29259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688728332519531 × 216)
    floor (0.688728332519531 × 65536)
    floor (45136.5)     		ty = 45136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29259 / 45136 ti = "16/29259/45136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29259/45136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29259 ÷ 216
    29259 ÷ 65536     		x = 0.446456909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45136 ÷ 216
    45136 ÷ 65536     		y = 0.688720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446456909179688 × 2 - 1) × π
    -0.107086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33642116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.37744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18576714900171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33642116} λ = -0.33642116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18576714900171))-π/2
    2×atan(0.305511716567833)-π/2
    2×0.296505713075252-π/2
    0.593011426150504-1.57079632675     		φ = -0.97778490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33642116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.275513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97778490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.022948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29259 KachelY 45136 -0.33642116 -0.97778490 -19.275513 -56.022948
    Oben rechts KachelX + 1 29260 KachelY 45136 -0.33632529 -0.97778490 -19.270020 -56.022948
    Unten links KachelX 29259 KachelY + 1 45137 -0.33642116 -0.97783848 -19.275513 -56.026018
    Unten rechts KachelX + 1 29260 KachelY + 1 45137 -0.33632529 -0.97783848 -19.270020 -56.026018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97778490--0.97783848) × R
    5.35799999999975e-05 × 6371000     		dl = 341.358179999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97778490--0.97783848) × R
    5.35799999999975e-05 × 6371000     		dr = 341.358179999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33642116--0.33632529) × cos(-0.97778490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558860813425385 × 6371000     		do = 341.345349972469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33642116--0.33632529) × cos(-0.97783848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55881638079347 × 6371000     		du = 341.318211064307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97778490)-sin(-0.97783848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558860813425385-0.55881638079347)×R²
    abs(-0.33632529--0.33642116)×4.44326319153365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44326319153365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44326319153365e-05×40589641000000     		ar = 116516.395401663m²