Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29254 / 44611
↖ ↑ ↗
← S 54.377358°
W 19.302978°		 ← 355.75 m → S 54.377358°
W 19.297486°		 →
↑
355.76 m
↓
↑
355.76 m
↓
S 54.380558°
W 19.302978°		 ← 355.72 m →
126 555 m²		 S 54.380558°
W 19.297486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446388244628906 y=0.680717468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446388244628906 × 216)
    floor (0.446388244628906 × 65536)
    floor (29254.5)     		tx = 29254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680717468261719 × 216)
    floor (0.680717468261719 × 65536)
    floor (44611.5)     		ty = 44611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29254 / 44611 ti = "16/29254/44611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29254/44611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29254 ÷ 216
    29254 ÷ 65536     		x = 0.446380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44611 ÷ 216
    44611 ÷ 65536     		y = 0.680709838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.10723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33690053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680709838867188 × 2 - 1) × π
    -0.361419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13543340440065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33690053} λ = -0.33690053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13543340440065))-π/2
    2×atan(0.321282845756043)-π/2
    2×0.31086619531404-π/2
    0.621732390628079-1.57079632675     		φ = -0.94906394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33690053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.302978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94906394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.377358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29254 KachelY 44611 -0.33690053 -0.94906394 -19.302978 -54.377358
    Oben rechts KachelX + 1 29255 KachelY 44611 -0.33680466 -0.94906394 -19.297486 -54.377358
    Unten links KachelX 29254 KachelY + 1 44612 -0.33690053 -0.94911978 -19.302978 -54.380558
    Unten rechts KachelX + 1 29255 KachelY + 1 44612 -0.33680466 -0.94911978 -19.297486 -54.380558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94906394--0.94911978) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dl = 355.756639999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94906394--0.94911978) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dr = 355.756639999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33690053--0.33680466) × cos(-0.94906394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582444240232341 × 6371000     		do = 355.749818640848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33690053--0.33680466) × cos(-0.94911978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582398848626748 × 6371000     		du = 355.722094003291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94906394)-sin(-0.94911978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582444240232341-0.582398848626748)×R²
    abs(-0.33680466--0.33690053)×4.5391605593581e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5391605593581e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5391605593581e-05×40589641000000     		ar = 126555.428581168m²