Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29248 / 44074
↖ ↑ ↗
← S 52.623060°
W 19.335937°		 ← 370.78 m → S 52.623060°
W 19.330444°		 →
↑
370.79 m
↓
↑
370.79 m
↓
S 52.626395°
W 19.335937°		 ← 370.75 m →
137 478 m²		 S 52.626395°
W 19.330444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446296691894531 y=0.672523498535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446296691894531 × 216)
    floor (0.446296691894531 × 65536)
    floor (29248.5)     		tx = 29248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672523498535156 × 216)
    floor (0.672523498535156 × 65536)
    floor (44074.5)     		ty = 44074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29248 / 44074 ti = "16/29248/44074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29248/44074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29248 ÷ 216
    29248 ÷ 65536     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44074 ÷ 216
    44074 ÷ 65536     		y = 0.672515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.34503173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08394917420871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08394917420871))-π/2
    2×atan(0.338257048433082)-π/2
    2×0.326175333161439-π/2
    0.652350666322879-1.57079632675     		φ = -0.91844566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91844566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.623060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29248 KachelY 44074 -0.33747577 -0.91844566 -19.335937 -52.623060
    Oben rechts KachelX + 1 29249 KachelY 44074 -0.33737990 -0.91844566 -19.330444 -52.623060
    Unten links KachelX 29248 KachelY + 1 44075 -0.33747577 -0.91850386 -19.335937 -52.626395
    Unten rechts KachelX + 1 29249 KachelY + 1 44075 -0.33737990 -0.91850386 -19.330444 -52.626395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91844566--0.91850386) × R
    5.81999999998972e-05 × 6371000     		dl = 370.792199999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91844566--0.91850386) × R
    5.81999999998972e-05 × 6371000     		dr = 370.792199999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33737990) × cos(-0.91844566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60705605974523 × 6371000     		do = 370.782416996768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33737990) × cos(-0.91850386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60700980956282 × 6371000     		du = 370.754167950991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91844566)-sin(-0.91850386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60705605974523-0.60700980956282)×R²
    abs(-0.33737990--0.33747577)×4.62501824103345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62501824103345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62501824103345e-05×40589641000000     		ar = 137477.990895419m²