Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29244 / 43969
↖ ↑ ↗
← S 52.271519°
W 19.357910°		 ← 373.79 m → S 52.271519°
W 19.352417°		 →
↑
373.72 m
↓
↑
373.72 m
↓
S 52.274880°
W 19.357910°		 ← 373.76 m →
139 689 m²		 S 52.274880°
W 19.352417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446235656738281 y=0.670921325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446235656738281 × 216)
    floor (0.446235656738281 × 65536)
    floor (29244.5)     		tx = 29244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670921325683594 × 216)
    floor (0.670921325683594 × 65536)
    floor (43969.5)     		ty = 43969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29244 / 43969 ti = "16/29244/43969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29244/43969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29244 ÷ 216
    29244 ÷ 65536     		x = 0.44622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43969 ÷ 216
    43969 ÷ 65536     		y = 0.670913696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33785927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670913696289062 × 2 - 1) × π
    -0.341827392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0738824252885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33785927} λ = -0.33785927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0738824252885))-π/2
    2×atan(0.341679394256712)-π/2
    2×0.329243108672544-π/2
    0.658486217345087-1.57079632675     		φ = -0.91231011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33785927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.357910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91231011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.271519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29244 KachelY 43969 -0.33785927 -0.91231011 -19.357910 -52.271519
    Oben rechts KachelX + 1 29245 KachelY 43969 -0.33776339 -0.91231011 -19.352417 -52.271519
    Unten links KachelX 29244 KachelY + 1 43970 -0.33785927 -0.91236877 -19.357910 -52.274880
    Unten rechts KachelX + 1 29245 KachelY + 1 43970 -0.33776339 -0.91236877 -19.352417 -52.274880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91231011--0.91236877) × R
    5.86600000000992e-05 × 6371000     		dl = 373.722860000632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91231011--0.91236877) × R
    5.86600000000992e-05 × 6371000     		dr = 373.722860000632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33785927--0.33776339) × cos(-0.91231011) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.611920272967328 × 6371000     		do = 373.792404384068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33785927--0.33776339) × cos(-0.91236877) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.611873876579493 × 6371000     		du = 373.764063081892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91231011)-sin(-0.91236877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611920272967328-0.611873876579493)×R²
    abs(-0.33776339--0.33785927)×4.63963878345464e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63963878345464e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63963878345464e-05×40589641000000     		ar = 139689.470556637m²