Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29241 / 44649
↖ ↑ ↗
← S 54.498758°
W 19.374390°		 ← 354.70 m → S 54.498758°
W 19.368897°		 →
↑
354.67 m
↓
↑
354.67 m
↓
S 54.501947°
W 19.374390°		 ← 354.67 m →
125 797 m²		 S 54.501947°
W 19.368897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446189880371094 y=0.681297302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446189880371094 × 216)
    floor (0.446189880371094 × 65536)
    floor (29241.5)     		tx = 29241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681297302246094 × 216)
    floor (0.681297302246094 × 65536)
    floor (44649.5)     		ty = 44649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29241 / 44649 ti = "16/29241/44649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29241/44649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29241 ÷ 216
    29241 ÷ 65536     		x = 0.446182250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44649 ÷ 216
    44649 ÷ 65536     		y = 0.681289672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446182250976562 × 2 - 1) × π
    -0.107635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33814689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681289672851562 × 2 - 1) × π
    -0.362579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13907660877177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33814689} λ = -0.33814689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13907660877177))-π/2
    2×atan(0.320114476284708)-π/2
    2×0.309806783875195-π/2
    0.61961356775039-1.57079632675     		φ = -0.95118276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33814689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.374390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95118276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.498758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29241 KachelY 44649 -0.33814689 -0.95118276 -19.374390 -54.498758
    Oben rechts KachelX + 1 29242 KachelY 44649 -0.33805102 -0.95118276 -19.368897 -54.498758
    Unten links KachelX 29241 KachelY + 1 44650 -0.33814689 -0.95123843 -19.374390 -54.501947
    Unten rechts KachelX + 1 29242 KachelY + 1 44650 -0.33805102 -0.95123843 -19.368897 -54.501947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95118276--0.95123843) × R
    5.56699999999521e-05 × 6371000     		dl = 354.673569999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95118276--0.95123843) × R
    5.56699999999521e-05 × 6371000     		dr = 354.673569999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33814689--0.33805102) × cos(-0.95118276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58072060750139 × 6371000     		do = 354.697044848811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33814689--0.33805102) × cos(-0.95123843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580675285491588 × 6371000     		du = 354.669362719512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95118276)-sin(-0.95123843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58072060750139-0.580675285491588)×R²
    abs(-0.33805102--0.33814689)×4.53220098017848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53220098017848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53220098017848e-05×40589641000000     		ar = 125796.758137777m²