Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29240 / 44120
↖ ↑ ↗
← S 52.776186°
W 19.379883°		 ← 369.48 m → S 52.776186°
W 19.374390°		 →
↑
369.45 m
↓
↑
369.45 m
↓
S 52.779508°
W 19.379883°		 ← 369.46 m →
136 502 m²		 S 52.779508°
W 19.374390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446174621582031 y=0.673225402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446174621582031 × 216)
    floor (0.446174621582031 × 65536)
    floor (29240.5)     		tx = 29240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673225402832031 × 216)
    floor (0.673225402832031 × 65536)
    floor (44120.5)     		ty = 44120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29240 / 44120 ti = "16/29240/44120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29240/44120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29240 ÷ 216
    29240 ÷ 65536     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44120 ÷ 216
    44120 ÷ 65536     		y = 0.6732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.346435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08835936897375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08835936897375))-π/2
    2×atan(0.336768553657355)-π/2
    2×0.32483905994871-π/2
    0.649678119897421-1.57079632675     		φ = -0.92111821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92111821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.776186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29240 KachelY 44120 -0.33824276 -0.92111821 -19.379883 -52.776186
    Oben rechts KachelX + 1 29241 KachelY 44120 -0.33814689 -0.92111821 -19.374390 -52.776186
    Unten links KachelX 29240 KachelY + 1 44121 -0.33824276 -0.92117620 -19.379883 -52.779508
    Unten rechts KachelX + 1 29241 KachelY + 1 44121 -0.33814689 -0.92117620 -19.374390 -52.779508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92111821--0.92117620) × R
    5.79899999999522e-05 × 6371000     		dl = 369.454289999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92111821--0.92117620) × R
    5.79899999999522e-05 × 6371000     		dr = 369.454289999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(-0.92111821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604930128384539 × 6371000     		do = 369.483924121798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33814689) × cos(-0.92117620) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604883951173923 × 6371000     		du = 369.455719646301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92111821)-sin(-0.92117620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604930128384539-0.604883951173923)×R²
    abs(-0.33814689--0.33824276)×4.61772106155056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61772106155056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61772106155056e-05×40589641000000     		ar = 136502.210758585m²