Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29239 / 44055
↖ ↑ ↗
← S 52.559656°
W 19.385376°		 ← 371.36 m → S 52.559656°
W 19.379883°		 →
↑
371.30 m
↓
↑
371.30 m
↓
S 52.562995°
W 19.385376°		 ← 371.33 m →
137 881 m²		 S 52.562995°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446159362792969 y=0.672233581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446159362792969 × 216)
    floor (0.446159362792969 × 65536)
    floor (29239.5)     		tx = 29239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672233581542969 × 216)
    floor (0.672233581542969 × 65536)
    floor (44055.5)     		ty = 44055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29239 / 44055 ti = "16/29239/44055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29239/44055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29239 ÷ 216
    29239 ÷ 65536     		x = 0.446151733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44055 ÷ 216
    44055 ÷ 65536     		y = 0.672225952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446151733398438 × 2 - 1) × π
    -0.107696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33833864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672225952148438 × 2 - 1) × π
    -0.344451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08212757202315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33833864} λ = -0.33833864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08212757202315))-π/2
    2×atan(0.338873779760819)-π/2
    2×0.326728640745181-π/2
    0.653457281490362-1.57079632675     		φ = -0.91733905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33833864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.385376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91733905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.559656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29239 KachelY 44055 -0.33833864 -0.91733905 -19.385376 -52.559656
    Oben rechts KachelX + 1 29240 KachelY 44055 -0.33824276 -0.91733905 -19.379883 -52.559656
    Unten links KachelX 29239 KachelY + 1 44056 -0.33833864 -0.91739733 -19.385376 -52.562995
    Unten rechts KachelX + 1 29240 KachelY + 1 44056 -0.33824276 -0.91739733 -19.379883 -52.562995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91733905--0.91739733) × R
    5.82799999999661e-05 × 6371000     		dl = 371.301879999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91733905--0.91739733) × R
    5.82799999999661e-05 × 6371000     		dr = 371.301879999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33833864--0.33824276) × cos(-0.91733905) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.607935065475477 × 6371000     		do = 371.358034489778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33833864--0.33824276) × cos(-0.91739733) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.60788879089538 × 6371000     		du = 371.32976759404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91733905)-sin(-0.91739733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607935065475477-0.60788879089538)×R²
    abs(-0.33824276--0.33833864)×4.62745800967612e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.62745800967612e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.62745800967612e-05×40589641000000     		ar = 137880.688622446m²