Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29235 / 44593
↖ ↑ ↗
← S 54.319727°
W 19.407348°		 ← 356.25 m → S 54.319727°
W 19.401856°		 →
↑
356.27 m
↓
↑
356.27 m
↓
S 54.322931°
W 19.407348°		 ← 356.22 m →
126 915 m²		 S 54.322931°
W 19.401856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446098327636719 y=0.680442810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446098327636719 × 216)
    floor (0.446098327636719 × 65536)
    floor (29235.5)     		tx = 29235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680442810058594 × 216)
    floor (0.680442810058594 × 65536)
    floor (44593.5)     		ty = 44593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29235 / 44593 ti = "16/29235/44593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29235/44593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29235 ÷ 216
    29235 ÷ 65536     		x = 0.446090698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44593 ÷ 216
    44593 ÷ 65536     		y = 0.680435180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446090698242188 × 2 - 1) × π
    -0.107818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33872213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680435180664062 × 2 - 1) × π
    -0.360870361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13370767601433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33872213} λ = -0.33872213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13370767601433))-π/2
    2×atan(0.321837771370725)-π/2
    2×0.31136911817753-π/2
    0.62273823635506-1.57079632675     		φ = -0.94805809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33872213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.407348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94805809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.319727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29235 KachelY 44593 -0.33872213 -0.94805809 -19.407348 -54.319727
    Oben rechts KachelX + 1 29236 KachelY 44593 -0.33862626 -0.94805809 -19.401856 -54.319727
    Unten links KachelX 29235 KachelY + 1 44594 -0.33872213 -0.94811401 -19.407348 -54.322931
    Unten rechts KachelX + 1 29236 KachelY + 1 44594 -0.33862626 -0.94811401 -19.401856 -54.322931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94805809--0.94811401) × R
    5.59199999999871e-05 × 6371000     		dl = 356.266319999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94805809--0.94811401) × R
    5.59199999999871e-05 × 6371000     		dr = 356.266319999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33872213--0.33862626) × cos(-0.94805809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583261571406697 × 6371000     		do = 356.249034526184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33872213--0.33862626) × cos(-0.94811401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583216147551376 × 6371000     		du = 356.221290190888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94805809)-sin(-0.94811401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583261571406697-0.583216147551376)×R²
    abs(-0.33862626--0.33872213)×4.54238553208031e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54238553208031e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54238553208031e-05×40589641000000     		ar = 126914.590381017m²