Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29234 / 44604
↖ ↑ ↗
← S 54.354956°
W 19.412842°		 ← 355.98 m → S 54.354956°
W 19.407348°		 →
↑
355.95 m
↓
↑
355.95 m
↓
S 54.358157°
W 19.412842°		 ← 355.95 m →
126 706 m²		 S 54.358157°
W 19.407348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446083068847656 y=0.680610656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446083068847656 × 216)
    floor (0.446083068847656 × 65536)
    floor (29234.5)     		tx = 29234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680610656738281 × 216)
    floor (0.680610656738281 × 65536)
    floor (44604.5)     		ty = 44604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29234 / 44604 ti = "16/29234/44604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29234/44604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29234 ÷ 216
    29234 ÷ 65536     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44604 ÷ 216
    44604 ÷ 65536     		y = 0.68060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68060302734375 × 2 - 1) × π
    -0.3612060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13476228780597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13476228780597))-π/2
    2×atan(0.321498536374097)-π/2
    2×0.311061692627727-π/2
    0.622123385255454-1.57079632675     		φ = -0.94867294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94867294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.354956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29234 KachelY 44604 -0.33881801 -0.94867294 -19.412842 -54.354956
    Oben rechts KachelX + 1 29235 KachelY 44604 -0.33872213 -0.94867294 -19.407348 -54.354956
    Unten links KachelX 29234 KachelY + 1 44605 -0.33881801 -0.94872881 -19.412842 -54.358157
    Unten rechts KachelX + 1 29235 KachelY + 1 44605 -0.33872213 -0.94872881 -19.407348 -54.358157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94867294--0.94872881) × R
    5.58699999999579e-05 × 6371000     		dl = 355.947769999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94867294--0.94872881) × R
    5.58699999999579e-05 × 6371000     		dr = 355.947769999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(-0.94867294) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.582762028129284 × 6371000     		do = 355.981047370548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(-0.94872881) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.582716624863164 × 6371000     		du = 355.953312718241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94867294)-sin(-0.94872881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582762028129284-0.582716624863164)×R²
    abs(-0.33872213--0.33881801)×4.54032661205694e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54032661205694e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54032661205694e-05×40589641000000     		ar = 126705.723962979m²