Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29234 / 44014
↖ ↑ ↗
← S 52.422523°
W 19.412842°		 ← 372.52 m → S 52.422523°
W 19.407348°		 →
↑
372.45 m
↓
↑
372.45 m
↓
S 52.425873°
W 19.412842°		 ← 372.49 m →
138 738 m²		 S 52.425873°
W 19.407348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446083068847656 y=0.671607971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446083068847656 × 216)
    floor (0.446083068847656 × 65536)
    floor (29234.5)     		tx = 29234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671607971191406 × 216)
    floor (0.671607971191406 × 65536)
    floor (44014.5)     		ty = 44014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29234 / 44014 ti = "16/29234/44014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29234/44014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29234 ÷ 216
    29234 ÷ 65536     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44014 ÷ 216
    44014 ÷ 65536     		y = 0.671600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.34320068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0781967462543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0781967462543))-π/2
    2×atan(0.340208455016083)-π/2
    2×0.327925349529957-π/2
    0.655850699059914-1.57079632675     		φ = -0.91494563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91494563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.422523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29234 KachelY 44014 -0.33881801 -0.91494563 -19.412842 -52.422523
    Oben rechts KachelX + 1 29235 KachelY 44014 -0.33872213 -0.91494563 -19.407348 -52.422523
    Unten links KachelX 29234 KachelY + 1 44015 -0.33881801 -0.91500409 -19.412842 -52.425873
    Unten rechts KachelX + 1 29235 KachelY + 1 44015 -0.33872213 -0.91500409 -19.407348 -52.425873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91494563--0.91500409) × R
    5.84600000000934e-05 × 6371000     		dl = 372.448660000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91494563--0.91500409) × R
    5.84600000000934e-05 × 6371000     		dr = 372.448660000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(-0.91494563) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.609833666158977 × 6371000     		do = 372.517797527009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33872213) × cos(-0.91500409) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.60978733384637 × 6371000     		du = 372.48949536528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91494563)-sin(-0.91500409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609833666158977-0.60978733384637)×R²
    abs(-0.33872213--0.33881801)×4.63323126077553e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63323126077553e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63323126077553e-05×40589641000000     		ar = 138738.484003533m²