Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29233 / 44848
↖ ↑ ↗
← S 55.128649°
W 19.418335°		 ← 349.21 m → S 55.128649°
W 19.412842°		 →
↑
349.19 m
↓
↑
349.19 m
↓
S 55.131790°
W 19.418335°		 ← 349.18 m →
121 937 m²		 S 55.131790°
W 19.412842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446067810058594 y=0.684333801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446067810058594 × 216)
    floor (0.446067810058594 × 65536)
    floor (29233.5)     		tx = 29233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684333801269531 × 216)
    floor (0.684333801269531 × 65536)
    floor (44848.5)     		ty = 44848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29233 / 44848 ti = "16/29233/44848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29233/44848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29233 ÷ 216
    29233 ÷ 65536     		x = 0.446060180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44848 ÷ 216
    44848 ÷ 65536     		y = 0.684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446060180664062 × 2 - 1) × π
    -0.107879638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33891388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.36865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15815549482056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33891388} λ = -0.33891388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15815549482056))-π/2
    2×atan(0.314064941366194)-π/2
    2×0.304309944196094-π/2
    0.608619888392188-1.57079632675     		φ = -0.96217644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33891388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.418335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96217644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.128649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29233 KachelY 44848 -0.33891388 -0.96217644 -19.418335 -55.128649
    Oben rechts KachelX + 1 29234 KachelY 44848 -0.33881801 -0.96217644 -19.412842 -55.128649
    Unten links KachelX 29233 KachelY + 1 44849 -0.33891388 -0.96223125 -19.418335 -55.131790
    Unten rechts KachelX + 1 29234 KachelY + 1 44849 -0.33881801 -0.96223125 -19.412842 -55.131790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96217644--0.96223125) × R
    5.48099999999607e-05 × 6371000     		dl = 349.19450999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96217644--0.96223125) × R
    5.48099999999607e-05 × 6371000     		dr = 349.19450999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33891388--0.33881801) × cos(-0.96217644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571735707832812 × 6371000     		do = 349.209178016567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33891388--0.33881801) × cos(-0.96223125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571690738775 × 6371000     		du = 349.181711466027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96217644)-sin(-0.96223125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571735707832812-0.571690738775)×R²
    abs(-0.33881801--0.33891388)×4.49690578121498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49690578121498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49690578121498e-05×40589641000000     		ar = 121937.132250832m²