Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29232 / 44591
↖ ↑ ↗
← S 54.313319°
W 19.423828°		 ← 356.30 m → S 54.313319°
W 19.418335°		 →
↑
356.33 m
↓
↑
356.33 m
↓
S 54.316523°
W 19.423828°		 ← 356.28 m →
126 957 m²		 S 54.316523°
W 19.418335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446052551269531 y=0.680412292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446052551269531 × 216)
    floor (0.446052551269531 × 65536)
    floor (29232.5)     		tx = 29232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680412292480469 × 216)
    floor (0.680412292480469 × 65536)
    floor (44591.5)     		ty = 44591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29232 / 44591 ti = "16/29232/44591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29232/44591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29232 ÷ 216
    29232 ÷ 65536     		x = 0.446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44591 ÷ 216
    44591 ÷ 65536     		y = 0.680404663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33900975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680404663085938 × 2 - 1) × π
    -0.360809326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13351592841585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33900975} λ = -0.33900975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13351592841585))-π/2
    2×atan(0.321899488907391)-π/2
    2×0.311425042035238-π/2
    0.622850084070477-1.57079632675     		φ = -0.94794624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33900975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94794624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.313319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29232 KachelY 44591 -0.33900975 -0.94794624 -19.423828 -54.313319
    Oben rechts KachelX + 1 29233 KachelY 44591 -0.33891388 -0.94794624 -19.418335 -54.313319
    Unten links KachelX 29232 KachelY + 1 44592 -0.33900975 -0.94800217 -19.423828 -54.316523
    Unten rechts KachelX + 1 29233 KachelY + 1 44592 -0.33891388 -0.94800217 -19.418335 -54.316523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94794624--0.94800217) × R
    5.59299999999263e-05 × 6371000     		dl = 356.330029999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94794624--0.94800217) × R
    5.59299999999263e-05 × 6371000     		dr = 356.330029999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33900975--0.33891388) × cos(-0.94794624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58335242176773 × 6371000     		do = 356.304524815603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33900975--0.33891388) × cos(-0.94800217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583306993438132 × 6371000     		du = 356.276777747473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94794624)-sin(-0.94800217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58335242176773-0.583306993438132)×R²
    abs(-0.33891388--0.33900975)×4.54283295981961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54283295981961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54283295981961e-05×40589641000000     		ar = 126957.058492931m²