Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29231 / 44590
↖ ↑ ↗
← S 54.310114°
W 19.429321°		 ← 356.37 m → S 54.310114°
W 19.423828°		 →
↑
356.33 m
↓
↑
356.33 m
↓
S 54.313319°
W 19.429321°		 ← 356.34 m →
126 980 m²		 S 54.313319°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446037292480469 y=0.680397033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446037292480469 × 216)
    floor (0.446037292480469 × 65536)
    floor (29231.5)     		tx = 29231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680397033691406 × 216)
    floor (0.680397033691406 × 65536)
    floor (44590.5)     		ty = 44590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29231 / 44590 ti = "16/29231/44590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29231/44590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29231 ÷ 216
    29231 ÷ 65536     		x = 0.446029663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44590 ÷ 216
    44590 ÷ 65536     		y = 0.680389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446029663085938 × 2 - 1) × π
    -0.107940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33910563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.36077880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13342005461661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33910563} λ = -0.33910563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13342005461661))-π/2
    2×atan(0.321930352113829)-π/2
    2×0.311453007230421-π/2
    0.622906014460843-1.57079632675     		φ = -0.94789031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33910563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.429321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94789031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.310114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29231 KachelY 44590 -0.33910563 -0.94789031 -19.429321 -54.310114
    Oben rechts KachelX + 1 29232 KachelY 44590 -0.33900975 -0.94789031 -19.423828 -54.310114
    Unten links KachelX 29231 KachelY + 1 44591 -0.33910563 -0.94794624 -19.429321 -54.313319
    Unten rechts KachelX + 1 29232 KachelY + 1 44591 -0.33900975 -0.94794624 -19.423828 -54.313319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94789031--0.94794624) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dl = 356.330030000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94789031--0.94794624) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dr = 356.330030000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33910563--0.33900975) × cos(-0.94789031) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.583397848272506 × 6371000     		do = 356.369439046048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33910563--0.33900975) × cos(-0.94794624) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58335242176773 × 6371000     		du = 356.341690198375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94789031)-sin(-0.94794624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583397848272506-0.58335242176773)×R²
    abs(-0.33900975--0.33910563)×4.54265047757918e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54265047757918e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54265047757918e-05×40589641000000     		ar = 126980.189065764m²