Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29231 / 43456
↖ ↑ ↗
← S 50.513427°
W 19.429321°		 ← 388.44 m → S 50.513427°
W 19.423828°		 →
↑
388.38 m
↓
↑
388.38 m
↓
S 50.516919°
W 19.429321°		 ← 388.41 m →
150 855 m²		 S 50.516919°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446037292480469 y=0.663093566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446037292480469 × 216)
    floor (0.446037292480469 × 65536)
    floor (29231.5)     		tx = 29231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663093566894531 × 216)
    floor (0.663093566894531 × 65536)
    floor (43456.5)     		ty = 43456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29231 / 43456 ti = "16/29231/43456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29231/43456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29231 ÷ 216
    29231 ÷ 65536     		x = 0.446029663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43456 ÷ 216
    43456 ÷ 65536     		y = 0.6630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446029663085938 × 2 - 1) × π
    -0.107940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33910563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6630859375 × 2 - 1) × π
    -0.326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02469916627832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33910563} λ = -0.33910563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02469916627832))-π/2
    2×atan(0.3589044197193)-π/2
    2×0.344585358732327-π/2
    0.689170717464654-1.57079632675     		φ = -0.88162561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33910563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.429321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88162561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.513427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29231 KachelY 43456 -0.33910563 -0.88162561 -19.429321 -50.513427
    Oben rechts KachelX + 1 29232 KachelY 43456 -0.33900975 -0.88162561 -19.423828 -50.513427
    Unten links KachelX 29231 KachelY + 1 43457 -0.33910563 -0.88168657 -19.429321 -50.516919
    Unten rechts KachelX + 1 29232 KachelY + 1 43457 -0.33900975 -0.88168657 -19.423828 -50.516919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88162561--0.88168657) × R
    6.09599999999988e-05 × 6371000     		dl = 388.376159999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88162561--0.88168657) × R
    6.09599999999988e-05 × 6371000     		dr = 388.376159999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33910563--0.33900975) × cos(-0.88162561) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635897382051354 × 6371000     		do = 388.438856954165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33910563--0.33900975) × cos(-0.88168657) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635850333550012 × 6371000     		du = 388.410117307489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88162561)-sin(-0.88168657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635897382051354-0.635850333550012)×R²
    abs(-0.33900975--0.33910563)×4.70485013415178e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70485013415178e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70485013415178e-05×40589641000000     		ar = 150854.810808476m²