Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29230 / 43866
↖ ↑ ↗
← S 51.923943°
W 19.434814°		 ← 376.68 m → S 51.923943°
W 19.429321°		 →
↑
376.72 m
↓
↑
376.72 m
↓
S 51.927331°
W 19.434814°		 ← 376.65 m →
141 895 m²		 S 51.927331°
W 19.429321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446022033691406 y=0.669349670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446022033691406 × 216)
    floor (0.446022033691406 × 65536)
    floor (29230.5)     		tx = 29230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669349670410156 × 216)
    floor (0.669349670410156 × 65536)
    floor (43866.5)     		ty = 43866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29230 / 43866 ti = "16/29230/43866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29230/43866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29230 ÷ 216
    29230 ÷ 65536     		x = 0.446014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43866 ÷ 216
    43866 ÷ 65536     		y = 0.669342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.10797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33920150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.33868408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06400742396677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33920150} λ = -0.33920150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06400742396677))-π/2
    2×atan(0.345070193244228)-π/2
    2×0.332276276534784-π/2
    0.664552553069568-1.57079632675     		φ = -0.90624377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33920150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.434814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90624377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.923943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29230 KachelY 43866 -0.33920150 -0.90624377 -19.434814 -51.923943
    Oben rechts KachelX + 1 29231 KachelY 43866 -0.33910563 -0.90624377 -19.429321 -51.923943
    Unten links KachelX 29230 KachelY + 1 43867 -0.33920150 -0.90630290 -19.434814 -51.927331
    Unten rechts KachelX + 1 29231 KachelY + 1 43867 -0.33910563 -0.90630290 -19.429321 -51.927331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90624377--0.90630290) × R
    5.91300000000183e-05 × 6371000     		dl = 376.717230000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90624377--0.90630290) × R
    5.91300000000183e-05 × 6371000     		dr = 376.717230000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33920150--0.33910563) × cos(-0.90624377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616706970402057 × 6371000     		do = 376.67707519532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33920150--0.33910563) × cos(-0.90630290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616660422613395 × 6371000     		du = 376.648644375285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90624377)-sin(-0.90630290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616706970402057-0.616660422613395)×R²
    abs(-0.33910563--0.33920150)×4.6547788661977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6547788661977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6547788661977e-05×40589641000000     		ar = 141895.389223572m²