Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29228 / 44029
↖ ↑ ↗
← S 52.472743°
W 19.445801°		 ← 372.05 m → S 52.472743°
W 19.440308°		 →
↑
372.07 m
↓
↑
372.07 m
↓
S 52.476089°
W 19.445801°		 ← 372.03 m →
138 424 m²		 S 52.476089°
W 19.440308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445991516113281 y=0.671836853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445991516113281 × 216)
    floor (0.445991516113281 × 65536)
    floor (29228.5)     		tx = 29228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671836853027344 × 216)
    floor (0.671836853027344 × 65536)
    floor (44029.5)     		ty = 44029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29228 / 44029 ti = "16/29228/44029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29228/44029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29228 ÷ 216
    29228 ÷ 65536     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44029 ÷ 216
    44029 ÷ 65536     		y = 0.671829223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671829223632812 × 2 - 1) × π
    -0.343658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0796348532429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0796348532429))-π/2
    2×atan(0.33971955049211)-π/2
    2×0.327487096351479-π/2
    0.654974192702957-1.57079632675     		φ = -0.91582213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91582213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.472743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29228 KachelY 44029 -0.33939325 -0.91582213 -19.445801 -52.472743
    Oben rechts KachelX + 1 29229 KachelY 44029 -0.33929738 -0.91582213 -19.440308 -52.472743
    Unten links KachelX 29228 KachelY + 1 44030 -0.33939325 -0.91588053 -19.445801 -52.476089
    Unten rechts KachelX + 1 29229 KachelY + 1 44030 -0.33929738 -0.91588053 -19.440308 -52.476089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91582213--0.91588053) × R
    5.8400000000014e-05 × 6371000     		dl = 372.066400000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91582213--0.91588053) × R
    5.8400000000014e-05 × 6371000     		dr = 372.066400000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33929738) × cos(-0.91582213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.609138779948281 × 6371000     		do = 372.054517025123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33929738) × cos(-0.91588053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.609092463992623 × 6371000     		du = 372.026227805851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91582213)-sin(-0.91588053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609138779948281-0.609092463992623)×R²
    abs(-0.33929738--0.33939325)×4.63159556580717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63159556580717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63159556580717e-05×40589641000000     		ar = 138423.722058699m²