Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29228 / 43789
↖ ↑ ↗
← S 51.662334°
W 19.445801°		 ← 378.87 m → S 51.662334°
W 19.440308°		 →
↑
378.88 m
↓
↑
378.88 m
↓
S 51.665742°
W 19.445801°		 ← 378.84 m →
143 542 m²		 S 51.665742°
W 19.440308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445991516113281 y=0.668174743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445991516113281 × 216)
    floor (0.445991516113281 × 65536)
    floor (29228.5)     		tx = 29228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668174743652344 × 216)
    floor (0.668174743652344 × 65536)
    floor (43789.5)     		ty = 43789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29228 / 43789 ti = "16/29228/43789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29228/43789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29228 ÷ 216
    29228 ÷ 65536     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43789 ÷ 216
    43789 ÷ 65536     		y = 0.668167114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668167114257812 × 2 - 1) × π
    -0.336334228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05662514142528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05662514142528))-π/2
    2×atan(0.347627024922472)-π/2
    2×0.334559248245088-π/2
    0.669118496490176-1.57079632675     		φ = -0.90167783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90167783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.662334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29228 KachelY 43789 -0.33939325 -0.90167783 -19.445801 -51.662334
    Oben rechts KachelX + 1 29229 KachelY 43789 -0.33929738 -0.90167783 -19.440308 -51.662334
    Unten links KachelX 29228 KachelY + 1 43790 -0.33939325 -0.90173730 -19.445801 -51.665742
    Unten rechts KachelX + 1 29229 KachelY + 1 43790 -0.33929738 -0.90173730 -19.440308 -51.665742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90167783--0.90173730) × R
    5.94699999999504e-05 × 6371000     		dl = 378.883369999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90167783--0.90173730) × R
    5.94699999999504e-05 × 6371000     		dr = 378.883369999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33929738) × cos(-0.90167783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620294804547425 × 6371000     		do = 378.8684804121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33929738) × cos(-0.90173730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62024815704026 × 6371000     		du = 378.839988685222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90167783)-sin(-0.90173730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620294804547425-0.62024815704026)×R²
    abs(-0.33929738--0.33939325)×4.66475071656536e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66475071656536e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66475071656536e-05×40589641000000     		ar = 143541.569166799m²