Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29227 / 43975
↖ ↑ ↗
← S 52.291682°
W 19.451294°		 ← 373.58 m → S 52.291682°
W 19.445801°		 →
↑
373.60 m
↓
↑
373.60 m
↓
S 52.295042°
W 19.451294°		 ← 373.56 m →
139 564 m²		 S 52.295042°
W 19.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445976257324219 y=0.671012878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445976257324219 × 216)
    floor (0.445976257324219 × 65536)
    floor (29227.5)     		tx = 29227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671012878417969 × 216)
    floor (0.671012878417969 × 65536)
    floor (43975.5)     		ty = 43975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29227 / 43975 ti = "16/29227/43975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29227/43975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29227 ÷ 216
    29227 ÷ 65536     		x = 0.445968627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43975 ÷ 216
    43975 ÷ 65536     		y = 0.671005249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445968627929688 × 2 - 1) × π
    -0.108062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33948912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671005249023438 × 2 - 1) × π
    -0.342010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07445766808394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33948912} λ = -0.33948912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07445766808394))-π/2
    2×atan(0.341482902167563)-π/2
    2×0.329067147343509-π/2
    0.658134294687018-1.57079632675     		φ = -0.91266203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33948912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.451294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91266203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.291682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29227 KachelY 43975 -0.33948912 -0.91266203 -19.451294 -52.291682
    Oben rechts KachelX + 1 29228 KachelY 43975 -0.33939325 -0.91266203 -19.445801 -52.291682
    Unten links KachelX 29227 KachelY + 1 43976 -0.33948912 -0.91272067 -19.451294 -52.295042
    Unten rechts KachelX + 1 29228 KachelY + 1 43976 -0.33939325 -0.91272067 -19.445801 -52.295042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91266203--0.91272067) × R
    5.86399999999987e-05 × 6371000     		dl = 373.595439999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91266203--0.91272067) × R
    5.86399999999987e-05 × 6371000     		dr = 373.595439999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33948912--0.33939325) × cos(-0.91266203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611641894707075 × 6371000     		do = 373.583388906701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33948912--0.33939325) × cos(-0.91272067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611595501513751 × 6371000     		du = 373.555052511608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91266203)-sin(-0.91272067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611641894707075-0.611595501513751)×R²
    abs(-0.33939325--0.33948912)×4.63931933237793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63931933237793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63931933237793e-05×40589641000000     		ar = 139563.757421001m²