Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29226 / 43666
↖ ↑ ↗
← S 51.241286°
W 19.456787°		 ← 382.42 m → S 51.241286°
W 19.451294°		 →
↑
382.39 m
↓
↑
382.39 m
↓
S 51.244725°
W 19.456787°		 ← 382.39 m →
146 227 m²		 S 51.244725°
W 19.451294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445960998535156 y=0.666297912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445960998535156 × 216)
    floor (0.445960998535156 × 65536)
    floor (29226.5)     		tx = 29226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666297912597656 × 216)
    floor (0.666297912597656 × 65536)
    floor (43666.5)     		ty = 43666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29226 / 43666 ti = "16/29226/43666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29226/43666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29226 ÷ 216
    29226 ÷ 65536     		x = 0.445953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43666 ÷ 216
    43666 ÷ 65536     		y = 0.666290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.10809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33958500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.33258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04483266411874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33958500} λ = -0.33958500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04483266411874))-π/2
    2×atan(0.351750674962781)-π/2
    2×0.338233588589843-π/2
    0.676467177179686-1.57079632675     		φ = -0.89432915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33958500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.456787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89432915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.241286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29226 KachelY 43666 -0.33958500 -0.89432915 -19.456787 -51.241286
    Oben rechts KachelX + 1 29227 KachelY 43666 -0.33948912 -0.89432915 -19.451294 -51.241286
    Unten links KachelX 29226 KachelY + 1 43667 -0.33958500 -0.89438917 -19.456787 -51.244725
    Unten rechts KachelX + 1 29227 KachelY + 1 43667 -0.33948912 -0.89438917 -19.451294 -51.244725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89432915--0.89438917) × R
    6.00199999999385e-05 × 6371000     		dl = 382.387419999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89432915--0.89438917) × R
    6.00199999999385e-05 × 6371000     		dr = 382.387419999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33958500--0.33948912) × cos(-0.89432915) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.626042078859788 × 6371000     		do = 382.418730413971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33958500--0.33948912) × cos(-0.89438917) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.625995274779823 × 6371000     		du = 382.390140072454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89432915)-sin(-0.89438917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626042078859788-0.625995274779823)×R²
    abs(-0.33948912--0.33958500)×4.6804079965046e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6804079965046e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6804079965046e-05×40589641000000     		ar = 146226.64543263m²