Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29225 / 43876
↖ ↑ ↗
← S 51.957807°
W 19.462280°		 ← 376.39 m → S 51.957807°
W 19.456787°		 →
↑
376.40 m
↓
↑
376.40 m
↓
S 51.961192°
W 19.462280°		 ← 376.36 m →
141 668 m²		 S 51.961192°
W 19.456787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445945739746094 y=0.669502258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445945739746094 × 216)
    floor (0.445945739746094 × 65536)
    floor (29225.5)     		tx = 29225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669502258300781 × 216)
    floor (0.669502258300781 × 65536)
    floor (43876.5)     		ty = 43876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29225 / 43876 ti = "16/29225/43876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29225/43876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29225 ÷ 216
    29225 ÷ 65536     		x = 0.445938110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43876 ÷ 216
    43876 ÷ 65536     		y = 0.66949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445938110351562 × 2 - 1) × π
    -0.108123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33968087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66949462890625 × 2 - 1) × π
    -0.3389892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06496616195917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33968087} λ = -0.33968087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06496616195917))-π/2
    2×atan(0.344739519879807)-π/2
    2×0.331980757881766-π/2
    0.663961515763531-1.57079632675     		φ = -0.90683481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33968087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.462280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90683481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.957807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29225 KachelY 43876 -0.33968087 -0.90683481 -19.462280 -51.957807
    Oben rechts KachelX + 1 29226 KachelY 43876 -0.33958500 -0.90683481 -19.456787 -51.957807
    Unten links KachelX 29225 KachelY + 1 43877 -0.33968087 -0.90689389 -19.462280 -51.961192
    Unten rechts KachelX + 1 29226 KachelY + 1 43877 -0.33958500 -0.90689389 -19.456787 -51.961192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90683481--0.90689389) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dl = 376.398679999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90683481--0.90689389) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dr = 376.398679999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33968087--0.33958500) × cos(-0.90683481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616241600276933 × 6371000     		do = 376.392832814371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33968087--0.33958500) × cos(-0.90689389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616195070324099 × 6371000     		du = 376.364412888242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90683481)-sin(-0.90689389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616241600276933-0.616195070324099)×R²
    abs(-0.33958500--0.33968087)×4.65299528332741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65299528332741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65299528332741e-05×40589641000000     		ar = 141668.416862684m²