Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29224 / 43944
↖ ↑ ↗
← S 52.187405°
W 19.467773°		 ← 374.46 m → S 52.187405°
W 19.462280°		 →
↑
374.49 m
↓
↑
374.49 m
↓
S 52.190773°
W 19.467773°		 ← 374.43 m →
140 226 m²		 S 52.190773°
W 19.462280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445930480957031 y=0.670539855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445930480957031 × 216)
    floor (0.445930480957031 × 65536)
    floor (29224.5)     		tx = 29224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670539855957031 × 216)
    floor (0.670539855957031 × 65536)
    floor (43944.5)     		ty = 43944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29224 / 43944 ti = "16/29224/43944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29224/43944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29224 ÷ 216
    29224 ÷ 65536     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43944 ÷ 216
    43944 ÷ 65536     		y = 0.6705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.341064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0714855803075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0714855803075))-π/2
    2×atan(0.342499329033691)-π/2
    2×0.329977142966022-π/2
    0.659954285932044-1.57079632675     		φ = -0.91084204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91084204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.187405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29224 KachelY 43944 -0.33977674 -0.91084204 -19.467773 -52.187405
    Oben rechts KachelX + 1 29225 KachelY 43944 -0.33968087 -0.91084204 -19.462280 -52.187405
    Unten links KachelX 29224 KachelY + 1 43945 -0.33977674 -0.91090082 -19.467773 -52.190773
    Unten rechts KachelX + 1 29225 KachelY + 1 43945 -0.33968087 -0.91090082 -19.462280 -52.190773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91084204--0.91090082) × R
    5.8780000000036e-05 × 6371000     		dl = 374.48738000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91084204--0.91090082) × R
    5.8780000000036e-05 × 6371000     		dr = 374.48738000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33968087) × cos(-0.91084204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613080738255924 × 6371000     		do = 374.462216949281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33968087) × cos(-0.91090082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613034299806049 × 6371000     		du = 374.43385291204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91084204)-sin(-0.91090082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613080738255924-0.613034299806049)×R²
    abs(-0.33968087--0.33977674)×4.64384498748416e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64384498748416e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64384498748416e-05×40589641000000     		ar = 140226.063587963m²