Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29223 / 44874
↖ ↑ ↗
← S 55.210222°
W 19.473267°		 ← 348.53 m → S 55.210222°
W 19.467773°		 →
↑
348.49 m
↓
↑
348.49 m
↓
S 55.213356°
W 19.473267°		 ← 348.50 m →
121 456 m²		 S 55.213356°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445915222167969 y=0.684730529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445915222167969 × 216)
    floor (0.445915222167969 × 65536)
    floor (29223.5)     		tx = 29223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684730529785156 × 216)
    floor (0.684730529785156 × 65536)
    floor (44874.5)     		ty = 44874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29223 / 44874 ti = "16/29223/44874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29223/44874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29223 ÷ 216
    29223 ÷ 65536     		x = 0.445907592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44874 ÷ 216
    44874 ÷ 65536     		y = 0.684722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445907592773438 × 2 - 1) × π
    -0.108184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33987262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.36944580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1606482136008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33987262} λ = -0.33987262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1606482136008))-π/2
    2×atan(0.313283040722715)-π/2
    2×0.303598084434928-π/2
    0.607196168869857-1.57079632675     		φ = -0.96360016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33987262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.473267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96360016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.210222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29223 KachelY 44874 -0.33987262 -0.96360016 -19.473267 -55.210222
    Oben rechts KachelX + 1 29224 KachelY 44874 -0.33977674 -0.96360016 -19.467773 -55.210222
    Unten links KachelX 29223 KachelY + 1 44875 -0.33987262 -0.96365486 -19.473267 -55.213356
    Unten rechts KachelX + 1 29224 KachelY + 1 44875 -0.33977674 -0.96365486 -19.467773 -55.213356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96360016--0.96365486) × R
    5.46999999999631e-05 × 6371000     		dl = 348.493699999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96360016--0.96365486) × R
    5.46999999999631e-05 × 6371000     		dr = 348.493699999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33987262--0.33977674) × cos(-0.96360016) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570567054990951 × 6371000     		do = 348.531729980437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33987262--0.33977674) × cos(-0.96365486) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570522131706655 × 6371000     		du = 348.504288525738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96360016)-sin(-0.96365486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570567054990951-0.570522131706655)×R²
    abs(-0.33977674--0.33987262)×4.49232842959502e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49232842959502e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49232842959502e-05×40589641000000     		ar = 121456.330591216m²