Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29223 / 43994
↖ ↑ ↗
← S 52.355474°
W 19.473267°		 ← 373.08 m → S 52.355474°
W 19.467773°		 →
↑
373.02 m
↓
↑
373.02 m
↓
S 52.358829°
W 19.473267°		 ← 373.06 m →
139 163 m²		 S 52.358829°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445915222167969 y=0.671302795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445915222167969 × 216)
    floor (0.445915222167969 × 65536)
    floor (29223.5)     		tx = 29223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671302795410156 × 216)
    floor (0.671302795410156 × 65536)
    floor (43994.5)     		ty = 43994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29223 / 43994 ti = "16/29223/43994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29223/43994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29223 ÷ 216
    29223 ÷ 65536     		x = 0.445907592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43994 ÷ 216
    43994 ÷ 65536     		y = 0.671295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445907592773438 × 2 - 1) × π
    -0.108184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33987262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.34259033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0762792702695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33987262} λ = -0.33987262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0762792702695))-π/2
    2×atan(0.340861422382961)-π/2
    2×0.328510464577312-π/2
    0.657020929154624-1.57079632675     		φ = -0.91377540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33987262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.473267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91377540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.355474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29223 KachelY 43994 -0.33987262 -0.91377540 -19.473267 -52.355474
    Oben rechts KachelX + 1 29224 KachelY 43994 -0.33977674 -0.91377540 -19.467773 -52.355474
    Unten links KachelX 29223 KachelY + 1 43995 -0.33987262 -0.91383395 -19.473267 -52.358829
    Unten rechts KachelX + 1 29224 KachelY + 1 43995 -0.33977674 -0.91383395 -19.467773 -52.358829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91377540--0.91383395) × R
    5.85499999999906e-05 × 6371000     		dl = 373.02204999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91377540--0.91383395) × R
    5.85499999999906e-05 × 6371000     		dr = 373.02204999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33987262--0.33977674) × cos(-0.91377540) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.610760690099066 × 6371000     		do = 373.084071472807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33987262--0.33977674) × cos(-0.91383395) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.610714328269726 × 6371000     		du = 373.055751280739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91377540)-sin(-0.91383395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610760690099066-0.610714328269726)×R²
    abs(-0.33977674--0.33987262)×4.63618293404799e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63618293404799e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63618293404799e-05×40589641000000     		ar = 139163.303175001m²