Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29222 / 44073
↖ ↑ ↗
← S 52.619725°
W 19.478760°		 ← 370.81 m → S 52.619725°
W 19.473267°		 →
↑
370.79 m
↓
↑
370.79 m
↓
S 52.623060°
W 19.478760°		 ← 370.78 m →
137 488 m²		 S 52.623060°
W 19.473267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445899963378906 y=0.672508239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445899963378906 × 216)
    floor (0.445899963378906 × 65536)
    floor (29222.5)     		tx = 29222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672508239746094 × 216)
    floor (0.672508239746094 × 65536)
    floor (44073.5)     		ty = 44073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29222 / 44073 ti = "16/29222/44073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29222/44073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29222 ÷ 216
    29222 ÷ 65536     		x = 0.445892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44073 ÷ 216
    44073 ÷ 65536     		y = 0.672500610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.10821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33996849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672500610351562 × 2 - 1) × π
    -0.345001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08385330040947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33996849} λ = -0.33996849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08385330040947))-π/2
    2×atan(0.338289479976078)-π/2
    2×0.326204434655368-π/2
    0.652408869310736-1.57079632675     		φ = -0.91838746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33996849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.478760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91838746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.619725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29222 KachelY 44073 -0.33996849 -0.91838746 -19.478760 -52.619725
    Oben rechts KachelX + 1 29223 KachelY 44073 -0.33987262 -0.91838746 -19.473267 -52.619725
    Unten links KachelX 29222 KachelY + 1 44074 -0.33996849 -0.91844566 -19.478760 -52.623060
    Unten rechts KachelX + 1 29223 KachelY + 1 44074 -0.33987262 -0.91844566 -19.473267 -52.623060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91838746--0.91844566) × R
    5.82000000000082e-05 × 6371000     		dl = 370.792200000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91838746--0.91844566) × R
    5.82000000000082e-05 × 6371000     		dr = 370.792200000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33996849--0.33987262) × cos(-0.91838746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607102307871396 × 6371000     		do = 370.810664786616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33996849--0.33987262) × cos(-0.91844566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60705605974523 × 6371000     		du = 370.782416996768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91838746)-sin(-0.91844566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607102307871396-0.60705605974523)×R²
    abs(-0.33987262--0.33996849)×4.62481261660486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62481261660486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62481261660486e-05×40589641000000     		ar = 137488.465188295m²