Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29218 / 44585
↖ ↑ ↗
← S 54.294088°
W 19.500733°		 ← 356.51 m → S 54.294088°
W 19.495239°		 →
↑
356.46 m
↓
↑
356.46 m
↓
S 54.297294°
W 19.500733°		 ← 356.48 m →
127 075 m²		 S 54.297294°
W 19.495239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445838928222656 y=0.680320739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445838928222656 × 216)
    floor (0.445838928222656 × 65536)
    floor (29218.5)     		tx = 29218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680320739746094 × 216)
    floor (0.680320739746094 × 65536)
    floor (44585.5)     		ty = 44585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29218 / 44585 ti = "16/29218/44585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29218/44585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29218 ÷ 216
    29218 ÷ 65536     		x = 0.445831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44585 ÷ 216
    44585 ÷ 65536     		y = 0.680313110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.10833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34035199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680313110351562 × 2 - 1) × π
    -0.360626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13294068562041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34035199} λ = -0.34035199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13294068562041))-π/2
    2×atan(0.322084712538413)-π/2
    2×0.311592865872908-π/2
    0.623185731745816-1.57079632675     		φ = -0.94761060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34035199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.500733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94761060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.294088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29218 KachelY 44585 -0.34035199 -0.94761060 -19.500733 -54.294088
    Oben rechts KachelX + 1 29219 KachelY 44585 -0.34025611 -0.94761060 -19.495239 -54.294088
    Unten links KachelX 29218 KachelY + 1 44586 -0.34035199 -0.94766655 -19.500733 -54.297294
    Unten rechts KachelX + 1 29219 KachelY + 1 44586 -0.34025611 -0.94766655 -19.495239 -54.297294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94761060--0.94766655) × R
    5.59500000000268e-05 × 6371000     		dl = 356.457450000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94761060--0.94766655) × R
    5.59500000000268e-05 × 6371000     		dr = 356.457450000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34035199--0.34025611) × cos(-0.94761060) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.583625002140472 × 6371000     		do = 356.508196322483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34035199--0.34025611) × cos(-0.94766655) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58357956852278 × 6371000     		du = 356.480443129874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94761060)-sin(-0.94766655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583625002140472-0.58357956852278)×R²
    abs(-0.34025611--0.34035199)×4.54336176921588e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54336176921588e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54336176921588e-05×40589641000000     		ar = 127075.056182452m²