Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29218 / 44566
↖ ↑ ↗
← S 54.233130°
W 19.500733°		 ← 357.04 m → S 54.233130°
W 19.495239°		 →
↑
356.97 m
↓
↑
356.97 m
↓
S 54.236340°
W 19.500733°		 ← 357.01 m →
127 445 m²		 S 54.236340°
W 19.495239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445838928222656 y=0.680030822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445838928222656 × 216)
    floor (0.445838928222656 × 65536)
    floor (29218.5)     		tx = 29218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680030822753906 × 216)
    floor (0.680030822753906 × 65536)
    floor (44566.5)     		ty = 44566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29218 / 44566 ti = "16/29218/44566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29218/44566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29218 ÷ 216
    29218 ÷ 65536     		x = 0.445831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44566 ÷ 216
    44566 ÷ 65536     		y = 0.680023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.10833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34035199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.36004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13111908343485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34035199} λ = -0.34035199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13111908343485))-π/2
    2×atan(0.322671957455637)-π/2
    2×0.312124825401916-π/2
    0.624249650803832-1.57079632675     		φ = -0.94654668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34035199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.500733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94654668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.233130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29218 KachelY 44566 -0.34035199 -0.94654668 -19.500733 -54.233130
    Oben rechts KachelX + 1 29219 KachelY 44566 -0.34025611 -0.94654668 -19.495239 -54.233130
    Unten links KachelX 29218 KachelY + 1 44567 -0.34035199 -0.94660271 -19.500733 -54.236340
    Unten rechts KachelX + 1 29219 KachelY + 1 44567 -0.34025611 -0.94660271 -19.495239 -54.236340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94654668--0.94660271) × R
    5.60299999999847e-05 × 6371000     		dl = 356.967129999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94654668--0.94660271) × R
    5.60299999999847e-05 × 6371000     		dr = 356.967129999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34035199--0.34025611) × cos(-0.94654668) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.584488599507991 × 6371000     		do = 357.035726052556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34035199--0.34025611) × cos(-0.94660271) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.584443135740933 × 6371000     		du = 357.007954443162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94654668)-sin(-0.94660271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584488599507991-0.584443135740933)×R²
    abs(-0.34025611--0.34035199)×4.54637670578295e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54637670578295e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54637670578295e-05×40589641000000     		ar = 127445.061693875m²