Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29216 / 43878
↖ ↑ ↗
← S 51.964577°
W 19.511718°		 ← 376.34 m → S 51.964577°
W 19.506226°		 →
↑
376.40 m
↓
↑
376.40 m
↓
S 51.967962°
W 19.511718°		 ← 376.31 m →
141 647 m²		 S 51.967962°
W 19.506226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445808410644531 y=0.669532775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445808410644531 × 216)
    floor (0.445808410644531 × 65536)
    floor (29216.5)     		tx = 29216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669532775878906 × 216)
    floor (0.669532775878906 × 65536)
    floor (43878.5)     		ty = 43878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29216 / 43878 ti = "16/29216/43878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29216/43878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29216 ÷ 216
    29216 ÷ 65536     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43878 ÷ 216
    43878 ÷ 65536     		y = 0.669525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.33905029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06515790955765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06515790955765))-π/2
    2×atan(0.344673423241907)-π/2
    2×0.331921680919296-π/2
    0.663843361838591-1.57079632675     		φ = -0.90695296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90695296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.964577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29216 KachelY 43878 -0.34054373 -0.90695296 -19.511718 -51.964577
    Oben rechts KachelX + 1 29217 KachelY 43878 -0.34044786 -0.90695296 -19.506226 -51.964577
    Unten links KachelX 29216 KachelY + 1 43879 -0.34054373 -0.90701204 -19.511718 -51.967962
    Unten rechts KachelX + 1 29217 KachelY + 1 43879 -0.34044786 -0.90701204 -19.506226 -51.967962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90695296--0.90701204) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dl = 376.398679999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90695296--0.90701204) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dr = 376.398679999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.34044786) × cos(-0.90695296) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61614854609677 × 6371000     		do = 376.33599645918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.34044786) × cos(-0.90701204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616102011842871 × 6371000     		du = 376.307573906013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90695296)-sin(-0.90701204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61614854609677-0.616102011842871)×R²
    abs(-0.34044786--0.34054373)×4.65342538984448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65342538984448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65342538984448e-05×40589641000000     		ar = 141647.023239203m²