Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29214 / 43893
↖ ↑ ↗
← S 52.015317°
W 19.522705°		 ← 375.91 m → S 52.015317°
W 19.517212°		 →
↑
375.89 m
↓
↑
375.89 m
↓
S 52.018698°
W 19.522705°		 ← 375.88 m →
141 295 m²		 S 52.018698°
W 19.517212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445777893066406 y=0.669761657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445777893066406 × 216)
    floor (0.445777893066406 × 65536)
    floor (29214.5)     		tx = 29214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669761657714844 × 216)
    floor (0.669761657714844 × 65536)
    floor (43893.5)     		ty = 43893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29214 / 43893 ti = "16/29214/43893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29214/43893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29214 ÷ 216
    29214 ÷ 65536     		x = 0.445770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43893 ÷ 216
    43893 ÷ 65536     		y = 0.669754028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.10845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34073548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669754028320312 × 2 - 1) × π
    -0.339508056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06659601654625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34073548} λ = -0.34073548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06659601654625))-π/2
    2×atan(0.344178102230828)-π/2
    2×0.331478888037193-π/2
    0.662957776074385-1.57079632675     		φ = -0.90783855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34073548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.522705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90783855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.015317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29214 KachelY 43893 -0.34073548 -0.90783855 -19.522705 -52.015317
    Oben rechts KachelX + 1 29215 KachelY 43893 -0.34063961 -0.90783855 -19.517212 -52.015317
    Unten links KachelX 29214 KachelY + 1 43894 -0.34073548 -0.90789755 -19.522705 -52.018698
    Unten rechts KachelX + 1 29215 KachelY + 1 43894 -0.34063961 -0.90789755 -19.517212 -52.018698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90783855--0.90789755) × R
    5.90000000000312e-05 × 6371000     		dl = 375.889000000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90783855--0.90789755) × R
    5.90000000000312e-05 × 6371000     		dr = 375.889000000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34073548--0.34063961) × cos(-0.90783855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615450787349806 × 6371000     		do = 375.909813950124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34073548--0.34063961) × cos(-0.90789755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615404283935012 × 6371000     		du = 375.881410233105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90783855)-sin(-0.90789755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615450787349806-0.615404283935012)×R²
    abs(-0.34063961--0.34073548)×4.65034147940635e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65034147940635e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65034147940635e-05×40589641000000     		ar = 141295.02577466m²