Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29213 / 44587
↖ ↑ ↗
← S 54.300499°
W 19.528198°		 ← 356.45 m → S 54.300499°
W 19.522705°		 →
↑
356.46 m
↓
↑
356.46 m
↓
S 54.303705°
W 19.528198°		 ← 356.42 m →
127 055 m²		 S 54.303705°
W 19.522705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445762634277344 y=0.680351257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445762634277344 × 216)
    floor (0.445762634277344 × 65536)
    floor (29213.5)     		tx = 29213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680351257324219 × 216)
    floor (0.680351257324219 × 65536)
    floor (44587.5)     		ty = 44587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29213 / 44587 ti = "16/29213/44587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29213/44587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29213 ÷ 216
    29213 ÷ 65536     		x = 0.445755004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44587 ÷ 216
    44587 ÷ 65536     		y = 0.680343627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445755004882812 × 2 - 1) × π
    -0.108489990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34083136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680343627929688 × 2 - 1) × π
    -0.360687255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13313243321889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34083136} λ = -0.34083136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13313243321889))-π/2
    2×atan(0.322022959488965)-π/2
    2×0.311536915882271-π/2
    0.623073831764541-1.57079632675     		φ = -0.94772249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34083136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.528198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94772249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.300499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29213 KachelY 44587 -0.34083136 -0.94772249 -19.528198 -54.300499
    Oben rechts KachelX + 1 29214 KachelY 44587 -0.34073548 -0.94772249 -19.522705 -54.300499
    Unten links KachelX 29213 KachelY + 1 44588 -0.34083136 -0.94777844 -19.528198 -54.303705
    Unten rechts KachelX + 1 29214 KachelY + 1 44588 -0.34073548 -0.94777844 -19.522705 -54.303705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94772249--0.94777844) × R
    5.59500000000268e-05 × 6371000     		dl = 356.457450000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94772249--0.94777844) × R
    5.59500000000268e-05 × 6371000     		dr = 356.457450000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34083136--0.34073548) × cos(-0.94772249) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.583534141199135 × 6371000     		do = 356.4526937822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34083136--0.34073548) × cos(-0.94777844) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.583488703928234 × 6371000     		du = 356.424938358022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94772249)-sin(-0.94777844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583534141199135-0.583488703928234)×R²
    abs(-0.34073548--0.34083136)×4.54372709013384e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.54372709013384e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.54372709013384e-05×40589641000000     		ar = 127055.271490384m²