Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29212 / 44588
↖ ↑ ↗
← S 54.303705°
W 19.533691°		 ← 356.39 m → S 54.303705°
W 19.528198°		 →
↑
356.39 m
↓
↑
356.39 m
↓
S 54.306910°
W 19.533691°		 ← 356.36 m →
127 009 m²		 S 54.306910°
W 19.528198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445747375488281 y=0.680366516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445747375488281 × 216)
    floor (0.445747375488281 × 65536)
    floor (29212.5)     		tx = 29212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680366516113281 × 216)
    floor (0.680366516113281 × 65536)
    floor (44588.5)     		ty = 44588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29212 / 44588 ti = "16/29212/44588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29212/44588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29212 ÷ 216
    29212 ÷ 65536     		x = 0.44573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44588 ÷ 216
    44588 ÷ 65536     		y = 0.68035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.1085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34092723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68035888671875 × 2 - 1) × π
    -0.3607177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13322830701813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34092723} λ = -0.34092723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13322830701813))-π/2
    2×atan(0.321992087404332)-π/2
    2×0.311508944153855-π/2
    0.623017888307711-1.57079632675     		φ = -0.94777844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34092723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.533691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94777844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.303705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29212 KachelY 44588 -0.34092723 -0.94777844 -19.533691 -54.303705
    Oben rechts KachelX + 1 29213 KachelY 44588 -0.34083136 -0.94777844 -19.528198 -54.303705
    Unten links KachelX 29212 KachelY + 1 44589 -0.34092723 -0.94783438 -19.533691 -54.306910
    Unten rechts KachelX + 1 29213 KachelY + 1 44589 -0.34083136 -0.94783438 -19.528198 -54.306910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94777844--0.94783438) × R
    5.59399999999766e-05 × 6371000     		dl = 356.393739999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94777844--0.94783438) × R
    5.59399999999766e-05 × 6371000     		dr = 356.393739999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34092723--0.34083136) × cos(-0.94777844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583488703928234 × 6371000     		do = 356.387764292508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34092723--0.34083136) × cos(-0.94783438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583443272952317 × 6371000     		du = 356.360015608039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94777844)-sin(-0.94783438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583488703928234-0.583443272952317)×R²
    abs(-0.34083136--0.34092723)×4.54309759168048e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54309759168048e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54309759168048e-05×40589641000000     		ar = 127009.423510647m²