Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29210 / 44118
↖ ↑ ↗
← S 52.769539°
W 19.544678°		 ← 369.58 m → S 52.769539°
W 19.539184°		 →
↑
369.58 m
↓
↑
369.58 m
↓
S 52.772863°
W 19.544678°		 ← 369.55 m →
136 584 m²		 S 52.772863°
W 19.539184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445716857910156 y=0.673194885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445716857910156 × 216)
    floor (0.445716857910156 × 65536)
    floor (29210.5)     		tx = 29210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673194885253906 × 216)
    floor (0.673194885253906 × 65536)
    floor (44118.5)     		ty = 44118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29210 / 44118 ti = "16/29210/44118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29210/44118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29210 ÷ 216
    29210 ÷ 65536     		x = 0.445709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44118 ÷ 216
    44118 ÷ 65536     		y = 0.673187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445709228515625 × 2 - 1) × π
    -0.10858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34111898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.34637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08816762137527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34111898} λ = -0.34111898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08816762137527))-π/2
    2×atan(0.336833134410167)-π/2
    2×0.324897061326343-π/2
    0.649794122652686-1.57079632675     		φ = -0.92100220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34111898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.544678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92100220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.769539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29210 KachelY 44118 -0.34111898 -0.92100220 -19.544678 -52.769539
    Oben rechts KachelX + 1 29211 KachelY 44118 -0.34102310 -0.92100220 -19.539184 -52.769539
    Unten links KachelX 29210 KachelY + 1 44119 -0.34111898 -0.92106021 -19.544678 -52.772863
    Unten rechts KachelX + 1 29211 KachelY + 1 44119 -0.34102310 -0.92106021 -19.539184 -52.772863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92100220--0.92106021) × R
    5.80100000000527e-05 × 6371000     		dl = 369.581710000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92100220--0.92106021) × R
    5.80100000000527e-05 × 6371000     		dr = 369.581710000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34111898--0.34102310) × cos(-0.92100220) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.605022500589017 × 6371000     		do = 369.578889918073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34111898--0.34102310) × cos(-0.92106021) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.604976311523306 × 6371000     		du = 369.550675258924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92100220)-sin(-0.92106021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605022500589017-0.604976311523306)×R²
    abs(-0.34102310--0.34111898)×4.61890657106334e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61890657106334e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61890657106334e-05×40589641000000     		ar = 136584.384343218m²