Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29208 / 44421
↖ ↑ ↗
← S 53.764949°
W 19.555664°		 ← 361.07 m → S 53.764949°
W 19.550171°		 →
↑
361.04 m
↓
↑
361.04 m
↓
S 53.768196°
W 19.555664°		 ← 361.05 m →
130 359 m²		 S 53.768196°
W 19.550171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445686340332031 y=0.677818298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445686340332031 × 216)
    floor (0.445686340332031 × 65536)
    floor (29208.5)     		tx = 29208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677818298339844 × 216)
    floor (0.677818298339844 × 65536)
    floor (44421.5)     		ty = 44421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29208 / 44421 ti = "16/29208/44421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29208/44421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29208 ÷ 216
    29208 ÷ 65536     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44421 ÷ 216
    44421 ÷ 65536     		y = 0.677810668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677810668945312 × 2 - 1) × π
    -0.355621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11721738254503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11721738254503))-π/2
    2×atan(0.327188970832915)-π/2
    2×0.316210472640969-π/2
    0.632420945281938-1.57079632675     		φ = -0.93837538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93837538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.764949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29208 KachelY 44421 -0.34131073 -0.93837538 -19.555664 -53.764949
    Oben rechts KachelX + 1 29209 KachelY 44421 -0.34121485 -0.93837538 -19.550171 -53.764949
    Unten links KachelX 29208 KachelY + 1 44422 -0.34131073 -0.93843205 -19.555664 -53.768196
    Unten rechts KachelX + 1 29209 KachelY + 1 44422 -0.34121485 -0.93843205 -19.550171 -53.768196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93837538--0.93843205) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dl = 361.044569999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93837538--0.93843205) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dr = 361.044569999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34121485) × cos(-0.93837538) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591099221154864 × 6371000     		do = 361.073834069268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34121485) × cos(-0.93843205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591053510248696 × 6371000     		du = 361.045911494583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93837538)-sin(-0.93843205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591099221154864-0.591053510248696)×R²
    abs(-0.34121485--0.34131073)×4.5710906167562e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5710906167562e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5710906167562e-05×40589641000000     		ar = 130358.706547587m²