Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29208 / 43874
↖ ↑ ↗
← S 51.951037°
W 19.555664°		 ← 376.49 m → S 51.951037°
W 19.550171°		 →
↑
376.46 m
↓
↑
376.46 m
↓
S 51.954422°
W 19.555664°		 ← 376.46 m →
141 729 m²		 S 51.954422°
W 19.550171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445686340332031 y=0.669471740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445686340332031 × 216)
    floor (0.445686340332031 × 65536)
    floor (29208.5)     		tx = 29208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669471740722656 × 216)
    floor (0.669471740722656 × 65536)
    floor (43874.5)     		ty = 43874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29208 / 43874 ti = "16/29208/43874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29208/43874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29208 ÷ 216
    29208 ÷ 65536     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43874 ÷ 216
    43874 ÷ 65536     		y = 0.669464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.33892822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06477441436069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06477441436069))-π/2
    2×atan(0.344805629192794)-π/2
    2×0.332039843766251-π/2
    0.664079687532502-1.57079632675     		φ = -0.90671664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90671664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.951037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29208 KachelY 43874 -0.34131073 -0.90671664 -19.555664 -51.951037
    Oben rechts KachelX + 1 29209 KachelY 43874 -0.34121485 -0.90671664 -19.550171 -51.951037
    Unten links KachelX 29208 KachelY + 1 43875 -0.34131073 -0.90677573 -19.555664 -51.954422
    Unten rechts KachelX + 1 29209 KachelY + 1 43875 -0.34121485 -0.90677573 -19.550171 -51.954422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90671664--0.90677573) × R
    5.90900000000394e-05 × 6371000     		dl = 376.462390000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90671664--0.90677573) × R
    5.90900000000394e-05 × 6371000     		dr = 376.462390000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34121485) × cos(-0.90671664) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.616334661604405 × 6371000     		do = 376.488940216321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34121485) × cos(-0.90677573) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.616288128078808 × 6371000     		du = 376.46051514334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90671664)-sin(-0.90677573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616334661604405-0.616288128078808)×R²
    abs(-0.34121485--0.34131073)×4.65335255976917e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65335255976917e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65335255976917e-05×40589641000000     		ar = 141728.575798296m²