Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29207 / 44683
↖ ↑ ↗
← S 54.607074°
W 19.561157°		 ← 353.76 m → S 54.607074°
W 19.555664°		 →
↑
353.72 m
↓
↑
353.72 m
↓
S 54.610255°
W 19.561157°		 ← 353.73 m →
125 125 m²		 S 54.610255°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445671081542969 y=0.681816101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445671081542969 × 216)
    floor (0.445671081542969 × 65536)
    floor (29207.5)     		tx = 29207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681816101074219 × 216)
    floor (0.681816101074219 × 65536)
    floor (44683.5)     		ty = 44683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29207 / 44683 ti = "16/29207/44683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29207/44683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29207 ÷ 216
    29207 ÷ 65536     		x = 0.445663452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44683 ÷ 216
    44683 ÷ 65536     		y = 0.681808471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445663452148438 × 2 - 1) × π
    -0.108673095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34140660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681808471679688 × 2 - 1) × π
    -0.363616943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14233631794594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34140660} λ = -0.34140660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14233631794594))-π/2
    2×atan(0.319072695063953)-π/2
    2×0.308861549050002-π/2
    0.617723098100003-1.57079632675     		φ = -0.95307323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34140660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.561157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95307323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.607074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29207 KachelY 44683 -0.34140660 -0.95307323 -19.561157 -54.607074
    Oben rechts KachelX + 1 29208 KachelY 44683 -0.34131073 -0.95307323 -19.555664 -54.607074
    Unten links KachelX 29207 KachelY + 1 44684 -0.34140660 -0.95312875 -19.561157 -54.610255
    Unten rechts KachelX + 1 29208 KachelY + 1 44684 -0.34131073 -0.95312875 -19.555664 -54.610255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95307323--0.95312875) × R
    5.55199999999756e-05 × 6371000     		dl = 353.717919999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95307323--0.95312875) × R
    5.55199999999756e-05 × 6371000     		dr = 353.717919999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34140660--0.34131073) × cos(-0.95307323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579180533545738 × 6371000     		do = 353.756386511804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34140660--0.34131073) × cos(-0.95312875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579135272787602 × 6371000     		du = 353.728741794274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95307323)-sin(-0.95312875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579180533545738-0.579135272787602)×R²
    abs(-0.34131073--0.34140660)×4.52607581353792e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52607581353792e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52607581353792e-05×40589641000000     		ar = 125125.084039876m²