Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29206 / 43652
↖ ↑ ↗
← S 51.193116°
W 19.566650°		 ← 382.78 m → S 51.193116°
W 19.561157°		 →
↑
382.77 m
↓
↑
382.77 m
↓
S 51.196558°
W 19.566650°		 ← 382.75 m →
146 511 m²		 S 51.196558°
W 19.561157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445655822753906 y=0.666084289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445655822753906 × 216)
    floor (0.445655822753906 × 65536)
    floor (29206.5)     		tx = 29206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666084289550781 × 216)
    floor (0.666084289550781 × 65536)
    floor (43652.5)     		ty = 43652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29206 / 43652 ti = "16/29206/43652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29206/43652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29206 ÷ 216
    29206 ÷ 65536     		x = 0.445648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43652 ÷ 216
    43652 ÷ 65536     		y = 0.66607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.10870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34150247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.3321533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04349043092938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34150247} λ = -0.34150247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04349043092938))-π/2
    2×atan(0.352223123390146)-π/2
    2×0.338653955720808-π/2
    0.677307911441615-1.57079632675     		φ = -0.89348842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34150247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.566650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89348842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.193116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29206 KachelY 43652 -0.34150247 -0.89348842 -19.566650 -51.193116
    Oben rechts KachelX + 1 29207 KachelY 43652 -0.34140660 -0.89348842 -19.561157 -51.193116
    Unten links KachelX 29206 KachelY + 1 43653 -0.34150247 -0.89354850 -19.566650 -51.196558
    Unten rechts KachelX + 1 29207 KachelY + 1 43653 -0.34140660 -0.89354850 -19.561157 -51.196558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89348842--0.89354850) × R
    6.00800000000179e-05 × 6371000     		dl = 382.769680000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89348842--0.89354850) × R
    6.00800000000179e-05 × 6371000     		dr = 382.769680000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34150247--0.34140660) × cos(-0.89348842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626697449769167 × 6371000     		do = 382.779137809188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34150247--0.34140660) × cos(-0.89354850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626650630537009 × 6371000     		du = 382.750541194785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89348842)-sin(-0.89354850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626697449769167-0.626650630537009)×R²
    abs(-0.34140660--0.34150247)×4.68192321583238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68192321583238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68192321583238e-05×40589641000000     		ar = 146510.775175174m²