Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29205 / 44698
↖ ↑ ↗
← S 54.654768°
W 19.572144°		 ← 353.38 m → S 54.654768°
W 19.566650°		 →
↑
353.40 m
↓
↑
353.40 m
↓
S 54.657947°
W 19.572144°		 ← 353.35 m →
124 879 m²		 S 54.657947°
W 19.566650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445640563964844 y=0.682044982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445640563964844 × 216)
    floor (0.445640563964844 × 65536)
    floor (29205.5)     		tx = 29205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682044982910156 × 216)
    floor (0.682044982910156 × 65536)
    floor (44698.5)     		ty = 44698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29205 / 44698 ti = "16/29205/44698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29205/44698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29205 ÷ 216
    29205 ÷ 65536     		x = 0.445632934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44698 ÷ 216
    44698 ÷ 65536     		y = 0.682037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445632934570312 × 2 - 1) × π
    -0.108734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34159835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682037353515625 × 2 - 1) × π
    -0.36407470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14377442493454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34159835} λ = -0.34159835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14377442493454))-π/2
    2×atan(0.31861416417857)-π/2
    2×0.308445331333675-π/2
    0.616890662667351-1.57079632675     		φ = -0.95390566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34159835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.572144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95390566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.654768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29205 KachelY 44698 -0.34159835 -0.95390566 -19.572144 -54.654768
    Oben rechts KachelX + 1 29206 KachelY 44698 -0.34150247 -0.95390566 -19.566650 -54.654768
    Unten links KachelX 29205 KachelY + 1 44699 -0.34159835 -0.95396113 -19.572144 -54.657947
    Unten rechts KachelX + 1 29206 KachelY + 1 44699 -0.34150247 -0.95396113 -19.566650 -54.657947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95390566--0.95396113) × R
    5.54700000000574e-05 × 6371000     		dl = 353.399370000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95390566--0.95396113) × R
    5.54700000000574e-05 × 6371000     		dr = 353.399370000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34159835--0.34150247) × cos(-0.95390566) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.578501736596692 × 6371000     		do = 353.378641982632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34159835--0.34150247) × cos(-0.95396113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.578456489873245 × 6371000     		du = 353.35100295465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95390566)-sin(-0.95396113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578501736596692-0.578456489873245)×R²
    abs(-0.34150247--0.34159835)×4.52467234471898e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.52467234471898e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.52467234471898e-05×40589641000000     		ar = 124878.905672809m²