Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29202 / 44015
↖ ↑ ↗
← S 52.425873°
W 19.588623°		 ← 372.49 m → S 52.425873°
W 19.583130°		 →
↑
372.45 m
↓
↑
372.45 m
↓
S 52.429222°
W 19.588623°		 ← 372.46 m →
138 728 m²		 S 52.429222°
W 19.583130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445594787597656 y=0.671623229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445594787597656 × 216)
    floor (0.445594787597656 × 65536)
    floor (29202.5)     		tx = 29202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671623229980469 × 216)
    floor (0.671623229980469 × 65536)
    floor (44015.5)     		ty = 44015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29202 / 44015 ti = "16/29202/44015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29202/44015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29202 ÷ 216
    29202 ÷ 65536     		x = 0.445587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44015 ÷ 216
    44015 ÷ 65536     		y = 0.671615600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.10882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34188597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671615600585938 × 2 - 1) × π
    -0.343231201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07829262005354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34188597} λ = -0.34188597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07829262005354))-π/2
    2×atan(0.340175839502478)-π/2
    2×0.327896117105243-π/2
    0.655792234210485-1.57079632675     		φ = -0.91500409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34188597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.588623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91500409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.425873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29202 KachelY 44015 -0.34188597 -0.91500409 -19.588623 -52.425873
    Oben rechts KachelX + 1 29203 KachelY 44015 -0.34179009 -0.91500409 -19.583130 -52.425873
    Unten links KachelX 29202 KachelY + 1 44016 -0.34188597 -0.91506255 -19.588623 -52.429222
    Unten rechts KachelX + 1 29203 KachelY + 1 44016 -0.34179009 -0.91506255 -19.583130 -52.429222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91500409--0.91506255) × R
    5.84599999999824e-05 × 6371000     		dl = 372.448659999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91500409--0.91506255) × R
    5.84599999999824e-05 × 6371000     		dr = 372.448659999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34188597--0.34179009) × cos(-0.91500409) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.60978733384637 × 6371000     		do = 372.48949536528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34188597--0.34179009) × cos(-0.91506255) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.60974099944977 × 6371000     		du = 372.461191930542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91500409)-sin(-0.91506255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60978733384637-0.60974099944977)×R²
    abs(-0.34179009--0.34188597)×4.63343965996232e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63343965996232e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63343965996232e-05×40589641000000     		ar = 138727.942664446m²